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probleme pour exercice sur les polynome
Hey,
salut a tous, j'ai un petit soucis sur un exo de polynômes.
could you help me guys ?
voici l'énoncé:
soit A appartient à K[X] (Q, C) tel que:
(X²+1)|A et (X^3+1)|(A+1)
1) caluculer A au plus bas degré possible.
2) Calculer tous les A solutions
Bonsoir,
ces conditions s'écrivent : A = (X² + 1)S = (X3 + 1)R - 1 avec R et S des polynômes.
On s'aperçoit que R ne peut pas être constant (sinon S serait de degré 1, or les calculs montrent que pour tout S = aX + b, on arrive à une contradiction).
En revanche, pour deg(R) = 1, j'aboutis à une solution qui est R(X) = 0,5(X + 1) et S(X) = 0,5(X² + X - 1), sauf erreur de ma part. 
On récupère alors le A de plus bas degré possible. 
On peut aussi développer 1/[(x²+1)(x3+1)] en éléments simples en se préoccupant uniquement du numérateur de 1/(x²+1)... qui est de gré 1, comme tu l'as trouvé Tigweg... cela donne R et S s'en déduit.
oui, puisqu'à partir de ta solution "de base", on déduit toute la famille de solutions en (R,S)... avec un petit coup de théorème de Gauss... et donc toutes les solutions A
soit dit en passant, vous trouvez quoi comme solutions a cet énoncé:
"pour quel entier n X²+X+1|(X+1)n-Xn-1 "
De rien pour ma part.
Pour ta question, il faut et il suffit que les complexes j et j² soient racines du polynôme de droite.
Utilise le fait que 1+j = j² pour conclure
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