bonsoir,
non ce ne serait pas un idéal...mais c'est le plus petit idéal qui contient ça.

Un produit d'idéaux est forcément un idéal ?

Pourquoi ne serait ce pas un idéal... ?
soit a appartenant à A. xy appartenant à IJ (x dans I , y dans J)
ax appartient à I puisque I est un idéal de A donc axy appartient à IJ ?

Ben en genral ce qu'on appelle produit de deux idéux c'est l'idéal produit...oui on veut que ce soit un idéal.

Certes axy est dedans mais en general il n'est pas stable par addition.

D'après ce que j'ai compris,

soit P = {xy, x dans I , y dans J}

alors IJ = K tels que K idéal contenant P
d'où IJ est le plus petit idéal contenant P (car intersection d'idéaux = idéal)

Mais j'ai du mal à me le représenter...

ce sont les sommes finis de produit xy avec x dans I et y dans J
comme cela c'est stable pour + et pour la multiplication par un scalaire
par ex ds k[X,Y,Z]
(X,Y)(Y,Z) c'est les sommes de produit de polynome (XQ1(X,Y,Z)+YQ2(X,Y,Z))(YQ3(X,Y,Z)+ZQ4(X,Y,Z)) on trouve l'idéal engendré par XY,Y^2,XZ,YZ
XY+YZ par exemple est dedans et ce n'est pas un produit d'elements des deux idéaux