Bonjour.

Que vaut la fonction f ?

f (x, y, z) = x ² + y ² + 2 x z + 2 y z + 4 y

Le point critique étudié étant (1,-1,-1), il faut évaluer :

f(x-1,y+1,z+1).

Je trouve :

f(x-1,y+1,z+1) = -2 + ^tX.H.X + 8(y+1)

Pour le point critique je suis d'accord.Mais pour trouvé la nature du point critique je n'ai pas trés bien compris.

Reprenons.

f(x,y,z) = x² + y² + 2xz + 2yz + 4y

Le point critique est A(1,-1,-1). Pour voir ce qui se passe au voisinage de A, on se déplace autour de ce point.

La meilleure des solutions est de poser x = 1+X, y = -1+Y, z = -1+Z.

Ainsi, on se place dans le cas de trois nouvelles variables X, Y, Z évoluant dans un voisinage de 0.

f(1+X,-1+Y,-1+Z) = (1 + X)² + (-1 + Y)² + 2(1 + X)(-1 + Z) + 2 (-1 + Y)(-1 + Z) + 4(-1 + Y)

Cela donne :

f(1+X,-1+Y,-1+Z) = -2 + X² + Y² + 2XZ + 2YZ = f(1,-1,-1) + X² + Y² + 2XZ + 2YZ

Maintenant, il faut étudier le signe de la différence :

D(X,Y,Z) = f(1+X,-1+Y,-1+Z) - f(1,-1,-1) = X² + Y² + 2XZ + 2YZ

Si cette différence reste positive pour tout (X,Y,Z), cela signifie que, autour de A, f "est plus haut" que f(A), donc, A est un minimum.

Si cette différence est négative pour tout (X,Y,Z), cela signifie que, autour de A, f "est plus bas" que f(A), donc, A est un maximum.

Si cette différence change de signe, alors, on a ce que l'on appelle en principe "un col".

Donc, il est impératif de connaître le signe de la forme quadratique q(X,Y,Z) = X² + Y² + 2XZ + 2YZ.

Je ne connais pas ton niveau. Je te donne les deux principales méthodes :

1°) le calcul des valeurs propres de la matrice de q.

2°) la décomposition de q en carrés (méthode de Gauss ou bidouillage).

Tu verras que cette forme quadratique s'écrit :

q(X,Y,Z) = (X+Z)² + (Y+Z)² - 2Z².

La présence du signe "-" devant le troisième carré signifie que le signe ne sera pas constant.

Mille merci,maintenant tout est claire

Bonne soirée.