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Produit scalaire

Posté par
beugg 10-11-15 à 19:11

Bonsoir
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice :
ABCD est un carre de centre O tel que :AB= 4
1. Utiliser chacune des quatre expressions du produit scalaire pour calculer \vec{AB}.\vec{AC}.
2. Calculer les produits scalaires :\vec{AB}.\vec{BC};\vec{AB}.\vec{CD};\vec{AB}.\vec{OD};\vec{OD}.\vec{OB};\vec{OD}.\vec{OC}

Ma reponse
Q1: \vec{AB}.\vec{AC}= AB.ACcos \frac{Pi}{4} ?

MERCI d'avance

Posté par
bnv59re : Produit scalaire 10-11-15 à 19:37

Bonsoir,

Ca te fait une expression sur 4 et ton calcul n'est pas encore terminé...
AB=4

Donc...

Posté par
phj69re : Produit scalaire 10-11-15 à 19:44

Bonsoir,
V(AB)*V(AC) = [AB]*[AC]*cos(angle AB,AC), or Angle (AB,AC)= 1/2angle droit (AB,AD)= (Pi/2)/2=Pi/4.  --> OK
Poursuivez avec le même type de raisonnement c'est à dire en calculant bien les angles entre chaque veteur.
Cordialement.
phj69

Posté par
kenavo27re : Produit scalaire 10-11-15 à 19:46

bonsoir,

ta réponse est bonne donc remplace AB par 4, AC par ...... cos(pi/4) par.........

Maintenant, on peut aussi : vABx vAC= ABxAB  = AB²=16

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 19:47

Salut ! Alors, pour ta question 1, je suppose que tu as dû voir les différentes manières de calculer un produit scalaire, mais je vais te les rappeler. La méthode que tu veux employer est la première :
1. \vec{AB} . \vec{AC} = AB.AC. \cos{\frac{\pi}{4}} ... Après, tu peux avoir la valeur de AC avec un simple théorème de Pythagore, et tu trouves ta valeur du produit scalaire !
2. Pour la deuxième méthode, tu peux voir ton carré comme un repère orthonormé dont A est l'origine, ce qui donne les coordonnées des deux vecteurs :
\vec{AB} =  \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix} et \vec{AC} \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}
Tu n'as alors qu'à multiplier les deux vecteurs pour trouver le produit scalaire.
3. Ensuite, tu peux utiliser le fait que \vec{AB} . \vec{AC} = \frac{1}{2} [ ||\vec{AB}+\vec{AC} ||^2 - ||\vec{AB}||^2 - ||\vec{AC}||^2  ]
En calculant ||\vec{AB}+\vec{AC}|| et AC avec Pythagore (encore lui ^^), tu devrais trouver la valeur de ton produit scalaire.
4. Enfin, en faisant un projeté orthogonal de C sur la droite (AB), tu dois pouvoir trouver une quatrième façon de trouver ce produit scalaire !

Avec tout ça, tu devrais y arriver !

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 19:49

Désolée, j'ai eu une coquille... Evidemment, \vec{AC} = \begin{pmatrix}4\\-4\end{pmatrix} ...

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 19:51

OK

\vec{AB}.\vec{AC}= 162 ?

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 19:57

Desole ,j'ai poste avant de voir les derniers messages

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 19:57

Tu ne devrais pas avoir de \sqrt{2}, normalement...

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 20:28

Donc c'est 442+422/2 ?

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 20:34

La mise en forme n'est pas super claire (si tu n'utilises pas latex, mets au moins des parenthèses pour que ce soit plus facile à lire), mais je crois que c'est ça... Je le retape juste pour qu'on soit d'accord ^^
4  \times \sqrt{4^2 +4^2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 16

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 20:55

Excusez moi

Ok pour la deuxieme methode  ,AC a pour coordonnees 4 , -4

Pouquoi ce -4 la ?

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 21:00

signe -

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 21:00

Oh, peut-être que tu n'as pas fait le même dessin que moi, ce qui est possible et ne change rien au principe, tu retomberas toujours sur 16 pour le produit scalaire... Mon carré à moi est tel que A est dans le coin supérieur gauche, B dans le coin supérieur droit, C dans le coin inférieur droit, etc. Mais tu pouvais le faire dans l'autre sens, avec C et D au-dessus de A et B, et tu as auras ton vecteur AC qui sera égal à (4,4)...
PS : ne me vouvoie pas, c'est horrible ^^ J'ai dix-neuf ans, pas cinquante !

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 21:18

Ok

Pour la troisieme methode  AC= 42 ?

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 21:23

Oui, c'est ça ^^ (comme dans la méthode 1, en fait)

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 21:31

===> =1/2[ 2AB.AC] = 32/(4) ?

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 21:32

desole 322/(4)

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 21:39

Euh, qu'est-ce que tu cherches à faire ? Désolée, je ne vois pas vraiment ce que tu veux calculer, là...

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 21:40

Ma carre a peu pres

Produit scalaire

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 21:45

D'accord, mais je ne vois pas pourquoi tu calcules \frac{1}{2}(2 \times AB.AC)...

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 21:48

J'ai developpe ( AB+AC)2  non?

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 21:51

Il faut que tu fasses gaffe :
|| \vec{AB}+\vec{AC}||^2 \neq (AB+AC)^2...
Ce que tu dois faire, c'est additionner les vecteurs (sur ta figure, ça devrait être facile), puis calculer la norme avec Pythagore, en te plaçant dans un rectangle dont ton nouveau vecteur sera la diagonale ...

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 22:01

Desole comment additionner les vecteurs ??

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 22:06

Je pense que la manière la plus simple de faire, c'est avec ta figure.
Tu prends ton vecteur AC, tu le laissez où il est, mais tu 'colles' à sa suite une translation du vecteur AB... C'est mieux d'expliquer avec un dessin, dis-moi si tu as compris comme ça ou si tu veux que je t'en fasse un ^^

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 22:14

Non pas encore je veux une explication

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 22:24

Sur ce schéma que je viens de faire rapidement (c'est pour ça qu'il est moche ^^), on a respectivement :
- en rouge, le vecteur AC
- en bleu, le vecteur AB que l'on a translaté au bout du vecteur AC
- en vert, le vecteur \vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AC}
Après, on peut se placer dans le triangle rectangle ADE pour trouver la valeur de la norme du vecteur AE !

Produit scalaire

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 22:45

Ok

AE2= 42+(4+4)2 ?

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 22:46

Oui, c'est ça !

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 22:54

= 80 ?

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 22:56

Oui (d'ailleurs, tu as juste besoin de AE² = 80 dans la formule, pas besoin de passer à la racine carrée)

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 23:03

Donc AB+AC= 80 ?

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 23:07

Non, tu as un problème de notation...
AB et AC, ce sont des valeurs, les longueurs des segments [AB] et [AC].
Ici, à aucun moment on a AB + AC (qui serait égal à 4+4\sqrt{2})... Par contre, on additionne les vecteurs dans la formule pour la méthode 3, et c'est la norme au carré de ce vecteur\vec{AB}+\vec{AC} qui est égale à 80... Est-ce que tu vois la différence ?

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 23:16

Oui j'ai vu , mais j'ai un probleme de calculer

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 23:21

Alors, on a :
\vec{AB}.\vec{AC} = \frac{1}{2}[80 - 4^2 - (4^2+4^2)] = \frac{80-16-32}{2} = \frac{32}{2} =16
Tu as déjà trouvé le 80, c'était la valeur de la norme de \vec{AE}, et pour les deux autres termes, on les avait déjà calculés avant...

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 23:28

Oui exact

Pour methode 4:

\vec{AB}.\vec{AC}= AB.AH  ???

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 23:33

Oui, sauf que ici, ton H (le projeté orthogonal de C sur (AB)), et bien c'est B... puisque ABCD est un carré ^^ Donc en fait, \vec{AB}.\vec{AC} = \vec{AB}.\vec{AH} = \vec{AB}.\vec{AB} =   AB^2 = 4^2  !

Posté par
beuggre : Produit scalaire 10-11-15 à 23:47

D'accord

La question 2
a.
\vec{AB}(4,0) ; \vec{BC}(4,4) ==>
\vec{AB}.\vec{BC}=16 ?
b.
AB(4,0) ; CD(4,0) ==> \vec{AB}.\vec{CD}=16 ?
c.
AB(4,0) ; OD(1/2 ,4) ==> \vec{AB}.\vec{OD}=2 ?

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 10-11-15 à 23:56

1. Attention, \vec{BC} =(0,-4)... Quoi qu'il en soit, \vec{BC} et \vec{AB} sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul.

2. \vec{CD} =(-4,0) donc le produit scalaire sera égal à -16 (on peut voir qu'il est négatif sur la figure, car les deux vecteurs ont des sens opposés).

3. \vec{OD} = (-1/2, -1/2) donc le produit scalaire est égal à -2

En gros, fais attention aux sens de tes vecteurs et à la façon de les exprimer...

Posté par
beuggre : Produit scalaire 11-11-15 à 00:08

non seulement les sens des vecteurs mais j'ai aussi probleme sur les coordonnees

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 11-11-15 à 00:10

J'ai vu, oui ^^ Tu devrais rejeter un coup d'œil à ton cours, peut-être... Vous avez dû voir ça en classe, je pense.

Posté par
beuggre : Produit scalaire 11-11-15 à 00:14

D'accord

mais je dois calculer  tout en fonction de vecteurs AB et AC

Posté par
Cyllanre : Produit scalaire 11-11-15 à 00:15

Comment ça ? Ils ne sont pas donnés, ces deux vecteurs ?

Posté par
beuggre : Produit scalaire 11-11-15 à 00:20

C'est-a-dire s'il s'agit de coordonnees de vecteur AB.BC, c'est en fonction de AB et BC

Posté par
beuggre : Produit scalaire 11-11-15 à 00:35

OK merci bcp pour votre aide

C'est tres genereux de ta part
A demain ,bonne soiree


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