Bonjour,

comme on demande de faire tout ça par les vecteurs, il suffit de savoir calculer des produits scalaires avec Chasles
et d'imaginer les bonnes décompositions

1) Montrer que les droites (AJ) et (ID) sont perpendiculaires.
c'est à dire montrer que le produit scalaire AJ.ID = 0 (en vecteurs partout)
et pour cela décomposer AJ et ID "en passant par les côtés du carré"
AJ = AB + BJ (Chasles)
ID = IA + AD " "

développer et :
certains produits scalaires dans ce développement sont directement nuls

et il faut utiliser le fait (vectoriel) que AI = 1/2 AB pour calculer la valeur "numérique" (en fonction de a) de AB.IA
et que BJ = AL = 1/2 AD
puis simplifier

pareil pour les autres questions.

AJ.ID=0
(AB+BJ).(IA+AD)
(AB+1/2AD).(-1/2AB+AD)
(1/2AB.3/2AD)

Je ne vois pas très bien

calculs sans signification

AJ.ID=0 on n'en sait rien, c'est ce qu'on cherche à démontrer.

(AB+BJ).(IA+AD) écrire un truc dont on ne sait pas à quoi c'est égal ne va aboutir à rien du tout.
(AB+1/2AD).(-1/2AB+AD) si tu veux, mais laisser dans l'immédiat (AB+BJ).(IA+AD) simplifie l'écriture au début
(1/2AB.3/2AD) ????? ça sort d'où ce truc faux ??

correct est AJ.ID = (AB+BJ).(IA+AD)
développer le second membre (tout de suite, tel quel, c'est plus simple que de trainer des coefficients)
etc...

et aboutir à la valeur de AJ.ID (inconnue pour l'instant)
sauf erreur de calcul cela devra être 0 à la fin.

Faut t-il que je projette AD sur AB
ça donnerais AJ.ID=(AB+1/2AD).(-1/2AB+AB)

AJ.ID=(AB+1/2AB).(-1/2AB+AB)

mais bon sang pourquoi ne fais tu pas ce que je te dis de faire ???

développer (AB+BJ).(IA+AD)
quand vas tu te décider à le faire ?

AJ.ID=(AB+1/2AB).(-1/2AB+AB) faux
BJ n'est pas égal en vecteur à 1/2AB mais à 1./2AD (vecteurs !!! pas longueur)
et AD n'est pas égal à AB non plus (vecteurs)

pour l'instant les longueurs on s'en fiche
développer le produit scalaire :

juste développer.
sans rien remplacer du tout pour l'instant.

AJ.ID=(AB.IA).(AB.AD).(BJ.IA).(BJ.AD)

faux
. n'est pas + !!!

AJ.ID = (AB.IA) + (AB.AD) + (BJ.IA) + (BJ.AD) (tout ça en vecteurs)

et maintenant on va évaluer chacun de ces 4 produits scalaires
AB et IA sont colinéaires, donc le produit scalaire AB.IA (en vecteurs) se calcule avec les longueurs et le bon signe

AB et AD sont perpendiculaires (orthogonaux) et donc le produit scalaire AB.AD = ...
etc etc

Je ne sais pas comment procédés

en apprenant son cours.

le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est ...

le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires est ...

...u.v=0
...u.v=||u||*||v||

oui, donc le produit scalaire





u.v=||u||*||v|| non
c'est ||u||*||v|| ou -||u||*||v|| selon le sens des vecteurs.

donc car et sont de sens opposé.




et de même pour les deux autres produits scalaires qui restent

et au final simplifier.

AJ.ID=-a²/2+0+0+a²/2

oui, et en simplifiant ça donne ...

=0

voila on a donc démontré (en le calculant ainsi) que le produit scalaire AJ.ID est nul
et donc que ces vecteurs sont orthogonaux (car visiblement non nuls, ces vecteurs)
et donc la question 1 est terminée

question 2 : pareil ("par des raisonnements analogues", le faire explicitement ?)
et un quadrilatère qui a ses côtes deux à deux perpendiculaires est un rectangle

Qu'est ce que des résonnement analogues? Je n'ai pas compris

raisonner (avec sa tête, il n'y a que si elle est creuse qu'elle résonne )

analogues veut dire semblables

en utilisant des méthodes semblables à celle de la question 1 démontrer que
(AJ) et (BK) sont perpendiculaires
que (CL) et (ID) sont perpendiculaires
que (CL) et (BK) sont perpendiculaires