Bonjour,

Pour la seconde méthode tu peux te placer dans un repère orthonormé que tu auras probablement bien défini, puis tu détermineras les coordonnées des vecteurs AB et AC.

Puis enfin tu calculeras le produit scalaire AB.AC (en vecteurs)

Tout d'abord, merci pour ta réponse.

J'ai essayé de définir un repère orthonormé puis de déterminer les coordonnées des vecteurs AB et AC. Seulement, la diagonale AD me pose problème, car on doit respecter la condition AD=7 et le fait qu'ABDC est un parallélogramme.

Bonjour

Puisque vous avez les longueurs des côtés  j'essaierai  al-Kashi   et  le calcul du produit scalaire avec les normes

Bonjour,

je ne pense pas qu'un repère orthonormé puisse quoi que ce soit de valable ici :
quoi qu'on fasse au moins une des coordonnées d'au moins un des points sera irrationnelle
et la calculer est ... quasiment passer par le calcul autrement du produit scalaire ou faire des acrobaties avec des équations du second degré.

exemple totalement arbitraire (pour ce que ça change, rien du tout, on aura les mêmes techniques nécessaires quel que soit le repère)
plaçons A à l'origine et B sur l'axe Ox, donc pourquoi pas en (5; 0)
il faut alors calculer les coordonnées de C et D
surtout D d'ailleurs que l'on va appeler (x; y), on en déduira ensuite les coordonnées de C
D est à l'intersection des cercles de centre A de rayon 7 et de centre B de rayon 3 (BD = AC)
donc
x²+y² = 49
(x-5)² + y² = 9
par substitution de y
x² - (x-5)² = 40
10x = 40 + 25 = 65, x = 13/2
y² = 49 - 169/4 = 27/4 et y = 3(&rac;3)/2
le vecteur BD a donc pour coordonnées (13/2-5; 3(&rac;3)/2) = (3/2; 3(&rac;3)/2)
le point C avec vAC = vBD a donc pour coordonnées (3/2; 3(&rac;3)/2)

ayant les coordonnées de A (0; 0) B (5; 0) et C (3/2; 3(&rac;3)/2), on peut calculer le produit scalaire par << xx'+yy' >> = 5×3/2 + 0×3(&rac;3)/2 = 15/2 = 7.5

bof ....

un repère non orthonormé ne permet de rien calculer du tout vu que le calcul du produit scalaire (habituel) dans un tel repère n'a aucun sens.

le seul calcul un tant soit peu valable de ce produit scalaire est à mon avis avec la formule déjà utilisée, ou une formule équivalente (avec la différence au lieu de la somme, mais qui donne exactement les mêmes valeurs dans le calcul lui-même)
ou en écrivant cette même formule autrement : par le développement du produit scalaire (AB+AC)²
ce qui est exactement la même chose vu que c'est comme ça qu'on démontre cette fameuse formule
on a en fait planqué sous le tapis les mêmes calculs très exactement.

dernière technique qui planque aussi sous le tapis la même formule de calcul de (AB+AC)² en vecteurs :
l'utilisation de Al-Kashi pour calculer l'angle B dans le triangle ABD (son cosinus seulement, la valeur de l'angle lui même on s'en fiche)
puis comme les angles A et B sont supplémentaires
de calculer vAB.vAC = |AB|.|AC|.cos(A) = -|AB|.|AC|.cos(B) (l'angle B étant obtus, cos(B) est négatif)

Bonjour hekla, pas vu ton message avant de poster..

effectivement Al-Kashi semblerait être la méthode "attendue" par celui qui a concocté cet exo bizarre.

Bonjour mathafou

pas surprenant vu la longueur de l'intervention

la première partie  c'est sans doute ce que fait GeoGebra