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Niveau première
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Produit Scalaire question

Posté par
Regulus
27-05-15 à 14:49

Bonjour!

Je souhaiterais que quelqu'un puisse m'expliquer la correction d'un exercice que je n'ai pas compris, s'il vous plaît .
Je remercie d'avance ceux ou celles qui m'aideront!

Énoncé:

Soit un triangle EFG, tel que EF=3, EG=5 et FG=6.

Déterminez EF.EG , FE.FG et GF.GE .

Réponses:

FE.FG =  1/2*(FE²+FG²-GE²)=10
EF.EG = -1/2*( //FE+EG//²-//FE//²-//EG//²) = -1
GF.GE =  1/2*(GF²+GE²-FE²) = 26

Je vois bien que la formule est u.v =  1/2*(//u+v//²-//u//²-//v//²) , mais je n'arrive pas à comprendre comment il à réussit "à décider de l'ordre des côtés" ((GF²+GE²-FE²) au lieu d'autre chose).

Sur ce je vous souhaite à tous une bonne journée!

Posté par
jarod128
re : Produit Scalaire question 27-05-15 à 15:12

Bonjour,
c'est une formule difficile à retenir et à mettre en place. Je te propose (mais cela revient au même) d'utiliser ma méthode:

Je t'explique pour le premier FE.FG
Quand je dois passer par les longueurs des cotés comme dans ton cas, j'utilise les identités remarquables du collège.

Il faut choisir entre (FE+FG)² ou (FE-FG)²   (avec les fleches, ce sont des vecteurs)
le premier choix ne donnera rien par contre le deuxieme te permettra d'utiliser la relation de Chasles en transformant -FG en +GF
D'où toujours en vecteurs:

(FE-FG)² = FE² + FG² -2FE.FG
   GE²   = FE² + FG² -2FE.FG
   25    = 9   + 36  -2FE.FG

D'où le résultat.

Posté par
Metanik
re : Produit Scalaire question 27-05-15 à 15:19

Il s'agit de l'application du Théorème d'Al-Kashi : soient A, B et C trois points distincts, alors :

\vec{AB}.\vec{AC}=\dfrac{1}{2}(\vec{AB}^2 + \vec{AC}^2 - \vec{BC}^2})

Pour le produit scalaire \vec{FE}.\vec{FG}, tu remplaces respectivement A, B et C par F, E et G, et le tour est joué !

\vec{FE}.\vec{FG}=\dfrac{1}{2}(\vec{FE}^2 + \vec{FG}^2 - \vec{EG}^2)

Avec les valeurs numériques, cela donne :

\vec{FE}.\vec{FG}=\dfrac{((-3)^2 + 6^2 -5^2)}{2} = \dfrac{9 + 36 - 25}{2} = \dfrac{20}{2} = 10

Posté par
Regulus
re : Produit Scalaire question 27-05-15 à 15:29

Bonjour!

Tout d'abord, je tiens à vous remercier de votre aide ! Sinon, je pense avoir trouvé une méthode plus simple que la votre ( je me suis inspiré de ce que vous avez écrit) ^^ :

Par exemple avec EF.EG , on se dit qu'on met EF et EG au carré et qu'on en déduit le troisième côté "né" des deux autres ( EF.EG = -FE.EG = -FG)

EF.EG= 1/2*(//EF//² + //EG// - //FG//²) = 1/2(9+25-36) = -1

Posté par
Regulus
re : Produit Scalaire question 27-05-15 à 15:31

D'accord, je comprends mieux la méthode employé par mon professeur ( on a fait un croisement de post, pendant que j'écrivais le miens vous avez posté le votre ^^).



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