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Projecteur

Posté par
Oraki 19-01-09 à 21:47

Bonsoir à tous,
Voilà j'ai un ptit problème à un exo de math,
Je m'explique,
a,b réels distincts. f un endomorphisme de un R-espace vectoriel tel que,
f²-(a+b)f+ab*Id=0

Et il faut que je montre que p=(f-a*Id)/b-a et q=p=(f-b*Id)/b-a sont des projecteurs.

Voila ce que j'ai fait,
p°p=((f-a*Id)/b-a)°((f-a*Id)/b-a)
p°p=(f°f-2*f*a*Id+(a*Id)²)/b-a

Mais la je ne sais plus comment simplifier...
Quelqu'un pourrais m'aider?

Posté par
Nightmarere : Projecteur 19-01-09 à 21:48

Salut

Il te faut utiliser l'égalité qui définie f ! f²-(a+b)f+abId=0 !

Posté par
Orakire : Projecteur 19-01-09 à 22:11

Salut,
Le problème c'est que je n'y arrive pas,
J'ai essayé d'exprimer f² en fonction du reste et de remplacer mais rien...

Posté par
Narhmre : Projecteur 19-01-09 à 23:29

Bonjour,
Tout est dit, il faut se servir, après avoir exprimer \rm p\circ p, que \rm f^2-(a+b)f+abId=0 soit que \rm f^2=(a+b)f-abId.

Par contre 3$ \rm p\circ p = \fr{f^2-2af+a^2Id}{(b-a)^{2}}.
Donc en partant de là, il suffit de remplacer correctement f2 et on retombe bien sur p.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Projecteur 20-01-09 à 00:31

Je crois qu'il y'a une erreur dans l'énoncé et on a plutôt 3$\fbox{p=\frac{f-aId}{b-a}} et 3$\fbox{q=\frac{f-bId}{a-b}}

Avec cette correction on vérifie facilement que 3$\fbox{poq=0\\p+q=Id} d'où 3$\blue\fbox{po(Id-p)=0\\(Id-q)oq=0} sauf erreur bien entendu

Posté par
Orakire : Projecteur 20-01-09 à 11:45

OK merci et oui il y avait bien une erreur^^. J'ai réussi le calcule.


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