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Puissance n de Matrice
Bonjour à tous,
Peut être que certains comme moi commence à réviser en vu de la rentrée ( qui approche mine de rien)
Alors voila On a 2 matrices, la matrice identité & la matrice
M = (1/6)*(4 1 1
1 4 1
1 1 4)
On veut montrer que M^n =aM +bI avec a et b deux réels
Je vois bien que c'est pas récurrence mais je ne trouve pas la propriété à prouver.
J'espere avoir des réponses à ma question
Merci d'avance 
Bonjour,
Il faudrait déjà identifier a et b en calculant M², la récurrence sera alors beaucoup plus simple.
Salut, moi je pense que tu aurais du commencer à calculer le polynôme caractéristique de M.
Puis, d'après le théorème de Cayley Hamilton M sera solution de ce polynôme.
bon pour continuer donne moi le polynôme caractéristique de cette matrice.
En fait, ce que je n'avais pas compris c'est que a et b dépendent de M, ce qui n'est absolument pas évident dans l'énoncé proposé. Dans ces conditions, je ne sais pas si ta méthode est bonne Yusufa.
Pour calculer explicitement les coefficients dans le développement, il faut mettre les mains dans le cambouis.
Tu peux facilement calculer exactement M^n :
On note J la matrice 3x3 ne comportant que des 1.
Alors M = J + 3I.
I commute avec J, donc tu peux utiliser la formule du binome pour calculer M^n.
Tu remarques que J^n = (3^n)J [récurrence immédiate en calculant J²)
A partir de là, c'est que du calcul, je te laisse le faire.
re bonjour,
Heureuse de voir des réponses aussi rapide.
Alors Ulusse j'ai déjà utilisé ta méthode que j'ai reussi car comme tu l'a dit c'est assez facile
thiblepri : j'ai calculé M², M^3 je ne trouves pas
Yusufa : jamais entendu parler de ta méthode
merci encore pour vos reponses
Bonjour.
Un moyen très élémentaire.
1°) On calcule M²
Sauf erreur :
Donc, 4M² = 6M - 2I.
On en déduit facilement M².
En multipliant les deux membres par M, tu dois enclencher une recherche de récurrence.
Il est vrai que si tu connais le théorème du polynôme minimal, cela ira plus vite. Quel est ton niveau ?
Je suis en Ece1 ...
Mais je vois comment faire, j'ai débloqué le truc tout à l'heure faut jusqte que je vérifie mes résultats
Merci beaucoup de vos réponses
Le calcul direct de M² te donne facilement :
M² = .M -
.I
Alors, on suppose que, pour tout n > 0, :
En multipliant par M :
Donc, par identification :
Je te laisse trouver les deux suites (an) et (bn)
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