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QCM sur les intégrales

Posté par
aidezmoisvp
26-01-13 à 14:23

Bonjour à tous,

Pour chacune des quatre affirmations dire si elle est vraie ou fausse.

Soit f une fonction continue et positive sur [0;+[
Soient F et G les fonctions définies sur [0;+[ respectivement par F(x)=1 à x de f(t) dt  et G(x)= x* 1 à x de f(t) dt
On désigne par la courbe représentative de f dans un repère.

1) G(0)=G(1)
2) G est dérivable sur [0;+[ et pour tout x de [0;+[ : G'(x)=F(x) + x*f(x)
3) On ne peut prévoir le sens de variation de G avec les seules informations de l'énoncé
4) L'aire, en u.a, de la surface délimitée par les droites d'équations x=0, x=2, y=0 et la courbe se calcule par F(2)+F(0)

Donc voici, l'exercice que je dois faire, j'ai essayé de le faire sans trop de succès. Je suis arrivé à dire que la 1) était vraie, mais les autres je ne vois pas du tout.
Merci de votre aide!

Posté par
aidezmoisvp
re : QCM sur les intégrales 26-01-13 à 15:52

je suis vraiment bloqué...

Posté par
Glapion Moderateur
re : QCM sur les intégrales 26-01-13 à 15:57

Bonjour, G(0)=G(1) ? tu as essayé de remplacer x par 0 et par 1 dans l'expression de G(x) ?
2) G(x) est un produit de deux fonctions UV, applique U'V+V'U
3) on peut savoir les variations de G(x) si on connait le signe de G'(x). Je te laisse réfléchir un peu, peux t-on déduire de l'énoncé le signe de G'(x) ?
4) Par définition que vaut l'aire sous la surface ?

Posté par
aidezmoisvp
re : QCM sur les intégrales 26-01-13 à 16:05

merci pour la réponse,

Pour la 1) oui j'ai remplacé par x par 1 et x par 0, les deux sont égaux à 0, donc oui ils sont égaux!

donc la 2) je dérive la fonction G et je devrais trouver ou non ce qu'on me donne c'est ça ?

Hum, l'aire sous la courbe de selon l'énoncé c'est l'intégrale de 0 à 2 de f, mais du coup ça serait plutôt F(2)-F(0) nan ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : QCM sur les intégrales 26-01-13 à 16:11

Oui tout à fait. tu vois quand tu veux.

Posté par
aidezmoisvp
re : QCM sur les intégrales 26-01-13 à 16:35

merci bien je vais essayer de me débrouiller!
par contre pour la 2 je n'ai pas l'expression de f,
du coup je fais :
G(x)= x * 1àx de f(t) dt  
    =x*[F(t)] 1 à x
    = x*(F(X)- F(1))

Je dérive ça ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : QCM sur les intégrales 26-01-13 à 16:41

Non tu dérives directement xf(t)dt comme un produit
f(t)dt+xf(x) = F(x)+xf(x)

Posté par
aidezmoisvp
re : QCM sur les intégrales 26-01-13 à 16:45

ah ouais d'accord je voyais pas ça si simple que ça !
c'est gentil merci de m'avoir aidé! Bon week end!

Posté par
Glapion Moderateur
re : QCM sur les intégrales 26-01-13 à 16:52

Et tu as trouvé la 3) ? le sens de variation de G(x) ?

Posté par
aidezmoisvp
re : QCM sur les intégrales 26-01-13 à 17:04

justement, je suis en train de réfléchir dessus !

Mais je pense qu'on peut savoir!
vu qu'on sait que f est positive sur [0;+[ et que x appartient aussi à cet intervalle.
Donc si F(x) est positif sur [0;+[ et que x*f(x) est un produit de facteur positifs alors G'(x) sera positif et G croissant sur [0;+[
est ce que ma démarche est juste ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : QCM sur les intégrales 26-01-13 à 17:07

Posté par
aidezmoisvp
re : QCM sur les intégrales 26-01-13 à 17:09

merci merci c'est trop d'honneur ahah

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