Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Quadriques
Bonjour, un dernier petit exo pour la route 
j'ai l'équation :
On me demande de montrer qu'il s'agit d'une surface de révolution autour d'un axe à déterminer. Puis de faire une étude selon
La matrice associée est :
Je calcule le polynôme caractéristique :
Le sous-espace propre associé à la valeur propre 2 est de dimension 1.
Le sous-espace propre associé à la valeur propre -1 est de dimension 2.
Donc, d'après le théorème spectrale, il existe une base orthonormée dans laquelle A est diagonalisable avec pour coefficients sur la diagonale .
Donc dans cette base, on a ou encore
L'axe de révolution est l'axe dirigé par .
Enfin :
: il s'agit d'une hyperboloïde à une nappe.
: il s'agit d'un cône elliptique.
: il s'agit d'une hyperboloïde à deux nappes.
Je suis complètement à l'ouest ?
Merci
Salut Pierre
Déjà un petit hic : le polynôme caractéristique doit avoir un coefficient dominant égale à -1, ce qui n'est pas le cas ici.
Par ailleurs, on est dans un cas simple : on peut calculer les valeurs propres sans calculer le polynôme caractéristique.
Kaiser
Salut
On peut remarquer que A = 1/2[ J - I], donc AX = 1/2[ JX - X ] = 1/2(a-1)X
Et les valeurs propres de J sont 0 et 3 donc celles de A : -1/2 et 1.
Salut Kaiser.
Effectivement, me suis planté dans le calcul 
Du coup on a une valeur propre négative, pour "deux" valeurs propres positives. Donc ça change les surfaces obtenues...
Est-ce que le reste du raisonnement tenait la route (si on occulte les fautes de calcul) ?
Par ailleurs :
"le polynôme caractéristique doit avoir un coefficient dominant égale à -1" >> pourquoi ?
"on peut calculer les valeurs propres sans calculer le polynôme caractéristique" >> comment ?
Est-ce que le reste du raisonnement tenait la route (si on occulte les fautes de calcul) ?
oui.
On peut aussi préciser : si
"le polynôme caractéristique doit avoir un coefficient dominant égale à -1" >> pourquoi ?
De manière générale, on définit le polynôme caractéristique d'une matrice A par det(A-XI) et, par exemple en explicitant le déterminant avec la grosse formule avec les permutations et les signatures, on se rend compte que le coefficient dominant c'est
"on peut calculer les valeurs propres sans calculer le polynôme caractéristique" >> comment ?
avec quelques astuces.
Quand on a affaire à une matrice dont la taille n'est pas trop grande, on peut avoir toutes les valeurs propres sans calculer les valeurs propres.
Ici, on remarque que la somme des termes d'une ligne est constante égale à 1 donc 1 est valeur propre (avec (1,1,1) comme vecteur propre). Ensuite, si on note a et b les deux autres valeurs propres (éventuellement répétées), grâce à la trace, on sait que a+b=-1.
On peut aussi déterminer a²+b² avec la trace de A² (qui est exactement égale à la somme des carrés des coefficients de A, car A est symétrique). On peut ainsi déterminer ab=((a+b)²-a²-b²)/2 et donc on peut calculer a et b.
Bon finalement, cette méthode est peut-être plus efficace lorsque les valeurs propres sont un peu moches.
Mais on peut aussi remarquer directement aussi que -1/2 est valeur propre.
Kaiser
Oui effectivement j'avais pensé à la trace et au déterminant mais il en restait encore une... je n'avais pas pensé à la somme des coefficients d'une même ligne.
Merci
une petite précision : dans ton premier post, quel raisonnement emploie-tu pour dire que l'axe est dirigé par la vecteur (2,-1,-1) ?
Kaiser
et bien c'est le triplet de coefficient devant X, Y et Z dans la nouvelle base, non ?
donc, par conséquent, c'est le triplet de valeur propre ?
Dans ce cas, ça me paraît faux :
Regardons l'équation suivante : .
Ici, on a affaire à une cône dont l'axe de révolution est l'axes des z et cet axe n'est pourtant pas dirigé par le vecteur (1,1,-1).
Kaiser
En fait, si on a affaire à une équation dans une base orthonormée, alors l'axe de rotation semble être l'axes des X. En l'occurrence, dans ton exemple, l'axe de rotation est la droite dirigée par le vecteur propre pour la valeur propre 1 (là, je bascule sur la version corrigée avec les vraies valeurs propres) et donc l'axe de rotation est la droite dirigée par le vecteur (1,1,1).
Kaiser
Effectivement... j'ai fait bêtement l'analogie avec les vecteurs perpendiculaires à un plan.
Intuitivement, je dirais qu'un vecteur X dirige l'axe de révolution si AX = aX, donc il y aurait un rapport avec les vecteurs propres associés aux valeurs propres ?
D'accord, et dans un cas plus général où l'on aurait X^2 + aY^2 + bZ^2 = 0, on procèderait comment ?
En fait, il y a un axe de rotation que s'il y a une valeur propre qui est au moins d'ordre 2 donc dans cet exemple, si a, b et 1 sont tous les 3 distincts, alors il n'y a pas d'axe de rotation.
Kaiser
Bonjour puisea,
Tu as fait une autre erreur dans ton premier post.
Si l'équation de la quadrique est alors:
pour c'est un hyperboloïde à deux nappes,
pour c'est un hyperboloïde à une nappes.
Bonjour jandri
Je ne suis pas d'accord : c'est le contraire.
Par exemple, si , alors on a :
.
Ainsi, x ne prend aucune valeur dans l'intervalle
mais comme la quantité y²+z² peut prendre n'importe quelle valeur positive, ça veut dire que x prend n'importe quelle valeur dans l'ensemble .
Ainsi, la projection de la surface (opération continue) sur l'axes des abscisses est non connexe donc la surface n'est pas connexe donc ça ne peut être l'hyperboloïde à une nappe.
Kaiser
Bonjour Kaiser,
Merci d'avoir corrigé mon erreur.
Je suis tellement habitué à écrire l'équation avec deux signes >0 et un signe <0 dans le premier membre que je n'ai même pas remarqué que c'était le contraire ici!
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac