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Raisonnement en probabilités

Posté par
pppa 24-05-16 à 08:19

Bonjour

pouvez-vous svp m'aider à avancer sur la résolution de ce problème.

Les fleurs bleues d'une certaine famille sont 2 fois plus nombreuses que les fleurs rouges.

Quelle est la probabilité au cours d'une cueillette de 6 fleurs au hasard, d'obtenir 0, 1 , 2, 3 4, 5 ou 6 fleurs bleues ?

On doit trouver resp: 1/729 ; 12/729 ; 60/729 , 160/729 ; 240/729 ; 192/729 ; 64/729

mais je ne trouve pas le raisonnement .

Pour 0 fleurs bleues par ex, je fais :

\dfrac{\begin{pmatrix}2n\\0\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3n\\6\end{pmatrix}} mais je ne parviens pas à simplifier en éliminant tous les n.

J'ai fait un essai de la formule avec 0 fleurs bleues, je trouve 1/18 564

Merci de me donner  de raisonnement un exemple sur un des  cas, je devrais pouvoir me débrouiller pour les autres.

Posté par
pgeodre : Raisonnement en probabilités 24-05-16 à 08:33

p(fleur bleue) = 2/3
p(fleur rouge) = 1/3
loi binomiale de paramètres (6 ; 2/3)

p(cueillir 2 fleurs bleues) = C(6,2) * (2/3)²  * (1/3)4

Posté par
pppare : Raisonnement en probabilités 24-05-16 à 09:40

La loi binomiale, tout simplement, où avais-je la tête ?

Merci Pgeod

Posté par
pgeodre : Raisonnement en probabilités 24-05-16 à 13:35

Posté par
LeDinore : Raisonnement en probabilités 24-05-16 à 15:27

pppa @ 24-05-2016 à 08:19

Les fleurs bleues d'une certaine famille sont 2 fois plus nombreuses que les fleurs rouges.
Quelle est la probabilité au cours d'une cueillette de 6 fleurs au hasard, d'obtenir X = 0, 1 , 2, 3 4, 5 ou 6 fleurs bleues ?

Pour 0 fleurs bleues par ex, je fais :

\dfrac{\begin{pmatrix}2n\\0\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3n\\6\end{pmatrix}}
... mais je ne parviens pas à simplifier en éliminant tous les n.

Bonjour,

La réponse attendue a été donnée par pgeod.
A signaler qu'il s'agit en réalité d'une valeur approchée : la réserve de fleurs n'est pas infinie et donc considérer que la proportion de 2 fleurs bleues pour 1 rouge reste constante n'est qu'une approximation.

Tu aurais pu retrouver la loi binomiale par un dénombrement en considérant  n  fleurs, à condition d'une part de ne pas te tromper... et de faire ensuite tendre n vers l'infini.

P(X=0) = \dfrac {\begin{pmatrix}2n\\0\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix}\textcolor{red}{n}\\6\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}3n\\6\end{pmatrix}} = \dfrac{(1)\,n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\,6!}{(3n)(3n-1)(3n-2)(3n-3)(3n-4)(3n-5)\,6!} \sim \left(\dfrac 1 3\right)^6

Et plus généralement :

P(X=k) = \dfrac {\begin{pmatrix}2n\\k\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix}n\\6-k\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}3n\\6\end{pmatrix}} = \dfrac{\textcolor{red}{6!} \, (2n)(2n-1)...(2n-k+1)\,(n)(n-1)...(n-6+k+1)}{\textcolor{red}{k!\,(6-k)!}\,(3n)(3n-1)(3n-2)(3n-3)(3n-4)(3n-5)} \sim \textcolor{red} {\begin{pmatrix}6\\k\end{pmatrix}} \, \left(\dfrac 2 3\right)^k \, \left(\dfrac 1 3\right)^{6-k}

Posté par
pppare : Raisonnement en probabilités 18-06-16 à 10:41

Désole >> Le Dino, je viens de découvrir cette réponse complète et détaillée seulement aujourd'hui. J'ai dû zapper le mail m'avertissant d'une nouvelle réponse, ou il ne m'est pas parvenu, ça arrive aussi ( de + en + souvent d'ailleurs).

Merci pour cette réponse qui est la plus exhaustive et complète, même si le résultat attendu était basé sur un traitement "simple"  (ou simpliste) de la loi binomiale appliquée à ce cas..

Encore merci pour la peine que tu as pris pour donner cette réponse détaillée

Posté par
LeDinore : Raisonnement en probabilités 18-06-16 à 16:30

Avec plaisir .

Je trouvais ta démarche intéressante dans l'esprit, et je regrettais de ne pas la voir aboutir.

Il va de soi que l'approximation binomiale est ici ce qui est "attendu"... et que c'est une excellente approximation.

Posté par
pppare : Raisonnement en probabilités 18-06-16 à 16:32

Merci à toi, et pour le coup j'ai bien reçu le message d'avis de notification


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