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rang d'une application linéaire

Posté par
severinette
01-05-08 à 13:32

Bonsoir , si je veux connaitre le rang d'une application linéaire , je regarde le rang de sa matrice pas vrai ?

Donc j'ai une matrice , j'ai appliqué gauss dessus au maximum , maintenant comment je fais pour avoir son rang ?

merci

Posté par
Tigweg Correcteur
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 13:58

Salut severinette (tu es décalée ou t'as pas encore ouvert les volets?? )!

Il suffit de dénicher une sous-matrice carrée inversible de format maximal dans la matrice que tu viens d'obtenir.

Soit la plus grosse possible que tu vois à l'intérieur est inversible, et dans ce cas le rang est égal au format en question, soit elle ne l'est pas, et dans ce cas tu testes les matrices de rang un de moins, etc...

Posté par
severinette
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 13:59

salut tig lol , t'as pas plus facile car c'est pas une matrice carrée que j'ai ...

Posté par
Tigweg Correcteur
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:01

Ah ben dans le vague ça va être dur, envoie ta matrice si tu veux!

Posté par
gui_tou
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:02

Salut severinette et Greg

Par définition, 3$\rm rg(f)=rg(A)=dim Vect\{C_1,...,C_p\} où A est la matrice canoniquement associée à A, et où C1 ... Cp sont les matrices colonnes de A, non ?

Posté par
infophile
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:03

Salut

Donne la matrice ça sera plus simple

Posté par
infophile
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:03

Posts croisés ^^

Posté par
severinette
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:04

beh j'ai une application linéaire de R^4 dans R³ qui est la suivante :

1 1 0 1
1 1 0 2
1 0 1 0

j'applique gauss et j'ai au final :

1 1 0 1
0 -1 1 -1
0 0 0 1

alors je me disais que peut etre yavait un rapport avec le nombre de pivot ou autre , en matant ma dernière matrice , sans utiliser de déterminant , comment tu trouves son rang ?

Posté par
infophile
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:06

Ce que tu peux faire c'est faire apparaître deux 0 dans la première colonne par soustraction lignes/colonnes, et comme ça tu peux utiliser la formule rg(A) = 1 + rg(...).

Posté par
Tigweg Correcteur
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:07

Re KEvin!

Bon déjà, le rang vaut 3 au maximum puisque M est de format (3;4).

Ensuite la plus grosse sous-matrice que je vois dans ton résultat, c'est


101
11-1
001


Elle est inversible (vecteurs indépendants ou déterminant, au choix), donc le rang de la matrice initiale M vaut 3.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:09

Pardon, j'ai oublié un moins dans le terme d'indice (2;1), mais ce qui suit reste valable.


Citation :
rg(A) = 1 + rg(...).


->C'est quoi cette formule??

Posté par
gui_tou
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:09

Je dirais :

à partir de la matrice, et grâce à Gauss on tombe sur ce que t'as fait.

Ainsi, on a que Ker(f) est une droite vectorielle dirigée selon 3$\rm \vec{u}\|1\\-1\\-1\\0

Le théorème du rang donne : 3$\rm dim({\bb R}^4) = dim(Ker f) + rg(f) donc 3$\rm\fbox{rg(f)=4-1=3

Non ?

Posté par
severinette
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:10

oui mais toi tu vas directement une matrice inversible car t'as l'habitude mais moi non , sans déterminant , ya pas une méthode avec les pivots ou autre ?

PS : en fait le rang d'une application linéaire géométriquement parlant ça veut dire quoi car je l'utilise bêtement mais sans rien comprendre de ce qu 'il en est...

Posté par
gui_tou
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:16

Zaimez pas ma méthode ? :p

Posté par
infophile
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:16

Sauf erreur on a vu en cours que si on a une matrice de la forme :

3$ \rm rg\[\begin{pmatrix}1&\ast&\ast&\ast&\ast\\0&.&.&.&.\\0&.&.&.&.\\0&.&.&.&.\end{pmatrix}\]=1+5$ \rm rg\[\begin{pmatrix}.&.&.&.\\.&.&.&.\\.&.&.&.\end{pmatrix}\]

Posté par
Tigweg Correcteur
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:19

Il te suffit de vérifier que les 3 vecteurs colonne que je donne sont libres, pour ceci pars d'une relation de liaison et montre que les scalaires a,b,c sont nécessairement nuls.

Une alternative est ce que propose Guillaume (guitou, dit guigui ):

chercher le noyau puis appliquer le théorème du rang.

Le rang d'une application linéaire, géométriquement, c'est combien de vecteurs parmi les images des vecteurs de base sont libres.

Ex pour une aplication linéaire de R² dans lui-même, tu regardes les images de i et de j, si elles sont nulles toutes les deux tu as l'application nulle (rang=0), si les deux vecteurs sont colinéaires mais non tous deux nuls, le rang vaut 1, s'ils sont non colinéaires, le rang vaut 2 et l'application est inversible, c'est-à-dire bijective.

Posté par
severinette
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:19

attendez les gars vous vous ruez tous sur ma matrice comme des brutes et dans toute cette violence vous me perdez en route , qui peut répondre précisément à ces questions :

1. pourquoi tigweg tu prends la sous matrice

1 0 1
-1 1 -1
0 0 1

alors que moi j'en vois une autre , comme par exemple :

1 1 0
0 -1 1
0 0 0 .

2. pourquoi le rang de la matrice est d'au maximum 3 , parce qu'elle engendre des vecteurs de dimension 3 ?

3. dans la matrice que j'ai trouvé , combien voyez vous de pivots svp ? quel rapport ont ils avec le rang de l'application ?

merci bien

Posté par
infophile
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:21

Donc en partant de ce qu'elle a fait avec Gauss on a directement 3$ \rm rg(A)=1+rg\[\begin{pmatrix}-1&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\]

Les deux premiers vecteurs colonnes sont liés donc on peut en enlever un, et il reste deux vecteurs linéairement indépendants donc de rang 2, et avec le +1 on a alors rg(A) = 3.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:21

OK KEvin, je ne voyais pas à quoi tu faisais référence!

Mais ce n'est pas extrêmement connu comme "formule", severinette ne l'a peut-être pas appris.

Posté par
severinette
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:22

n'oubliez pas mes messages hein c'est moi qui ai besoin d'aide

Posté par
infophile
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:25

Je vous laisse, à plusieurs on risque de l'embrouiller

A+ tout le monde

Posté par
Tigweg Correcteur
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:25

Citation :
attendez les gars vous vous ruez tous sur ma matrice comme des brutes


->C'est qu'on l'aime, ta matrice!


1)Parce qu'il en faut une qui soit inversible pour sortir le rang!

Celle que tu proposes a une ligne de 0, donc ne l'est pas.

2)Justement parce qu'on arrive dans R3, il y aura au plus 3 vecteurs libres.

De façon générale, le rang d'une matrice est au maximum égal à la plus petite des deux dimensions.

3)Le nombre de pivots ne donne pas le rang, ils servent juste chacun à réduire la matrice.

Après, pour conclure sur le rang, il faut utiliser une des 3 méthodes qu'on t'a proposées.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:26

Lol pauvre severinette, effectivement j'ai peur qu'on l'embrouille!

Je pensais également vous laisser le topic les gars!

Posté par
infophile
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:28

Non je ne maitrise pas parfaitement ces notions donc je préfère laisser la main et suivre le topic dans mon coin

Posté par
severinette
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:29

ok ça commence à s'éclaircir , mais quand tu cherches une sous matrice , tu en cherches une carrée ?

Posté par
gui_tou
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:29

Idem, laissons le pro

Posté par
severinette
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:30

ben disons que déjà suivre vos réponses individuellement faut déjà s'accrocher , si en plus vous mettez chacun votre méthode moi je coule , mais je vous en veux pas c'est très gentil de vouloir m'aider d'autant que dans 90% des cas grâce à vos réponses je progresse...

Posté par
severinette
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:36

en tout cas merci bcp tig , info et gui

Posté par
Tigweg Correcteur
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:36

et aussi !

Citation :
quand tu cherches une sous matrice , tu en cherches une carrée ?


->Oui! Le rang d'une matrice, c'est le format maximal d'une sous-matrice carrée inversible de la matrice de départ.

Posté par
severinette
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:37

ok

Posté par
Tigweg Correcteur
re : rang d'une application linéaire 01-05-08 à 14:39

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