Bonsoir , si je veux connaitre le rang d'une application linéaire , je regarde le rang de sa matrice pas vrai ?
Donc j'ai une matrice , j'ai appliqué gauss dessus au maximum , maintenant comment je fais pour avoir son rang ?
merci
Salut severinette (tu es décalée ou t'as pas encore ouvert les volets?? )!
Il suffit de dénicher une sous-matrice carrée inversible de format maximal dans la matrice que tu viens d'obtenir.
Soit la plus grosse possible que tu vois à l'intérieur est inversible, et dans ce cas le rang est égal au format en question, soit elle ne l'est pas, et dans ce cas tu testes les matrices de rang un de moins, etc...
Salut severinette et Greg
Par définition, où A est la matrice canoniquement associée à A, et où C1 ... Cp sont les matrices colonnes de A, non ?
beh j'ai une application linéaire de R^4 dans R³ qui est la suivante :
1 1 0 1
1 1 0 2
1 0 1 0
j'applique gauss et j'ai au final :
1 1 0 1
0 -1 1 -1
0 0 0 1
alors je me disais que peut etre yavait un rapport avec le nombre de pivot ou autre , en matant ma dernière matrice , sans utiliser de déterminant , comment tu trouves son rang ?
Ce que tu peux faire c'est faire apparaître deux 0 dans la première colonne par soustraction lignes/colonnes, et comme ça tu peux utiliser la formule rg(A) = 1 + rg(...).
Re KEvin!
Bon déjà, le rang vaut 3 au maximum puisque M est de format (3;4).
Ensuite la plus grosse sous-matrice que je vois dans ton résultat, c'est
101
11-1
001
Elle est inversible (vecteurs indépendants ou déterminant, au choix), donc le rang de la matrice initiale M vaut 3.
Pardon, j'ai oublié un moins dans le terme d'indice (2;1), mais ce qui suit reste valable.
Je dirais :
à partir de la matrice, et grâce à Gauss on tombe sur ce que t'as fait.
Ainsi, on a que Ker(f) est une droite vectorielle dirigée selon
Le théorème du rang donne : donc
Non ?
oui mais toi tu vas directement une matrice inversible car t'as l'habitude mais moi non , sans déterminant , ya pas une méthode avec les pivots ou autre ?
PS : en fait le rang d'une application linéaire géométriquement parlant ça veut dire quoi car je l'utilise bêtement mais sans rien comprendre de ce qu 'il en est...
Il te suffit de vérifier que les 3 vecteurs colonne que je donne sont libres, pour ceci pars d'une relation de liaison et montre que les scalaires a,b,c sont nécessairement nuls.
Une alternative est ce que propose Guillaume (guitou, dit guigui ):
chercher le noyau puis appliquer le théorème du rang.
Le rang d'une application linéaire, géométriquement, c'est combien de vecteurs parmi les images des vecteurs de base sont libres.
Ex pour une aplication linéaire de R² dans lui-même, tu regardes les images de i et de j, si elles sont nulles toutes les deux tu as l'application nulle (rang=0), si les deux vecteurs sont colinéaires mais non tous deux nuls, le rang vaut 1, s'ils sont non colinéaires, le rang vaut 2 et l'application est inversible, c'est-à-dire bijective.
attendez les gars vous vous ruez tous sur ma matrice comme des brutes et dans toute cette violence vous me perdez en route , qui peut répondre précisément à ces questions :
1. pourquoi tigweg tu prends la sous matrice
1 0 1
-1 1 -1
0 0 1
alors que moi j'en vois une autre , comme par exemple :
1 1 0
0 -1 1
0 0 0 .
2. pourquoi le rang de la matrice est d'au maximum 3 , parce qu'elle engendre des vecteurs de dimension 3 ?
3. dans la matrice que j'ai trouvé , combien voyez vous de pivots svp ? quel rapport ont ils avec le rang de l'application ?
merci bien
Donc en partant de ce qu'elle a fait avec Gauss on a directement
Les deux premiers vecteurs colonnes sont liés donc on peut en enlever un, et il reste deux vecteurs linéairement indépendants donc de rang 2, et avec le +1 on a alors rg(A) = 3.
OK KEvin, je ne voyais pas à quoi tu faisais référence!
Mais ce n'est pas extrêmement connu comme "formule", severinette ne l'a peut-être pas appris.
Lol pauvre severinette, effectivement j'ai peur qu'on l'embrouille!
Je pensais également vous laisser le topic les gars!
Non je ne maitrise pas parfaitement ces notions donc je préfère laisser la main et suivre le topic dans mon coin
ok ça commence à s'éclaircir , mais quand tu cherches une sous matrice , tu en cherches une carrée ?
ben disons que déjà suivre vos réponses individuellement faut déjà s'accrocher , si en plus vous mettez chacun votre méthode moi je coule , mais je vous en veux pas c'est très gentil de vouloir m'aider d'autant que dans 90% des cas grâce à vos réponses je progresse...
et aussi !
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