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Niveau Licence Maths 1e ann
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Récurrence et divisibilité

Posté par
Dcamd
08-03-09 à 10:06

Bonjour,

J'ai un petit soucis lorsque j'effectue ma récurrence.
Je dois démontrer la propriété (Pn) : (X-1)n+2+X2n+1 est divisible par X2-X+1

Pour l'initialisation, c'est OK.
On trouve exactement  X2-X+1, bien divisible par lui-même.

Pour l'hérédité, j'ai un soucis, je ne vois pas comment aboutir à la forme recherchée.
On suppose Pn vraie et on veut montrer Pn+1
(X-1)n+2+X2n+1=Q(X2-X+1)
Comment faire pour aboutir à la forme recherchée ?

Merci d'avance

David

Posté par
J-R
re : Récurrence et divisibilité 08-03-09 à 10:10

(X-1)^{n+3}+X^{2n+3}=((X-1)^{n+2}+X^{2n+1})(X-1)-(X-1)X^{2n+1}+X^{2n+3}

=((X-1)^{n+2}+X^{2n+1})(X-1)-X^{2n+1}(X-1+X^2)

là c'est ok.



cependant tu peux aussi mq -j, -\bar{j} sont solutions de P_n...

@+

Posté par
Dcamd
re : Récurrence et divisibilité 08-03-09 à 10:26

Merci beaucoup J-R, mais le dernier membre n'est pas exactement X2-X+1.

Posté par
Dcamd
re : Récurrence et divisibilité 08-03-09 à 10:34

C'est bon. Merci. Il suffisait de faire rentrer le - avant de factoriser.
Merci J-R

Posté par
Dcamd
re : Récurrence et divisibilité 08-03-09 à 11:03

Je dois le montrer sans récurrence ensuite.

Comment faire ?
J'ai trouvé j= 1+-(3)i/2

Merci

Posté par
J-R
re : Récurrence et divisibilité 08-03-09 à 11:09

euh non :

pour que X^2-X+1 divise P il faut et suffit que les racines de X^2-X+1 soient aussi racines de P.

en effet, (-j-1)^{n+2}+(-1)^{2n+1}j^{2n+1}=j^{2(n+2)}-j^{2n+1}=0 \ (j^3=1)

de même avec -\bar{j}

Posté par
Dcamd
re : Récurrence et divisibilité 08-03-09 à 11:11

D'accord. Merci. J'ai compris.

Merci encore J-R



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