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Reduction de Jordan

Posté par
hiryuu
06-06-13 à 01:14

Bonjour j'ai un exercice dont je ne comprend pas la correction, je vais vous la refaire point par point et m'arrêter à celui qui me gêne.

Je veux trigonaliser la matrice A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 0 & -1 & 6 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}.

Tout d'abord le polynôme caractéristique : X_A(\lambda) = (1 - \lambda)^2 (2-\lambda).

Ensuite on sait que : \{0\} \subset \text{ker}(A-I) \subset \text{ker}(A-I)^2 au sens stricte de l'inclusion.  

Soit $u \in \text{ker}(A-I)^2 \backslash \text{ker}(A-I), et ensuite en posant v = (A-I)u$ on a $(A-I)v = (A-I)^2 u, bref v \in \text{ker}(A-I). Considérons un dernier vecteur qui est w \in \text{ker}(A-2I).

On va maintenant prouver que la famille (u,v,w) est libre. Soient \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}, si \alpha u + \beta v + \gamma w = 0 alors :

\alpha(A-I)^2 u + \beta (A-I)^2 v + \gamma (A-I)^2 w = 0, et comme u,v \in \text{ker}(A-I)^2 on en déduit dans ce cas que \gamma (A-I)^2 w = 0.

De plus  \R^3 = \text{ker}(A-2I)^2 \oplus \text{ker}(A-I)^2, et comme w \in \text{ker}(A-2I) alors (A-I)^2w \ne 0, ainsi \boxed{\gamma = 0}.

QUESTION :

Vous avez certainement remarquer que j'ai bien isolé la dernière phrase (avec l'éalité de supplémentarité) et bien c'est cette phrase que je ne comprends pas. En quoi cette égalité et le fait que w \in \text{ker}(A-2I) amène le résultat (A-I)^2w \ne 0 ?

Merci d'avance

Posté par
Narhm
re : Reduction de Jordan 06-06-13 à 02:24

Bonsoir,

Il s'agit, dans ton égalité de supplémentaire, de  \R^3 = \text{ker}(A-2I) \oplus \text{ker}(A-I)^2. Cette égalité vient directement du lemme des noyaux.

Ensuite, raisonne par l'absurde : si (A-I)^2w=0 alors w\in \ker(A-I)^2 et donc w\in \ker(A-I)^2\cap \ker(A-2I). Par l'égalité précédente, cet espace est réduit à \{0\}.
Le vecteur w était choisi (même si ce n'est pas précisé dans ton message) pour être un vecteur propre: en particulier non nul.

Posté par
hiryuu
re : Reduction de Jordan 07-06-13 à 03:45

Ha oui quand même fallait y penser, c'est vrai que souvent l'absurde nous sauve la vie. Bon en tout cas j'ai compris   

Je vous remercies c'est super sympa d'avoir répondu, bonne soirée !

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