Bonsoir Barth,

On suppose que la suite converge vers . Alors et à partir d'un certain rang, u_n est positif.

A partir de là, on retombe sur le critère de Riemann ultra classique pour les séries à termes positifs :

On considère la série :

¤ la série diverge si (et seulement si)
¤ la série converge si (et seulement si)

démo :

Cas
Alors pour tout
Or la série harmonique diverge ; donc diverge.

Cas
Une comparaison série-intégrale permet de majorer la suite des sommes partielles, qui est croissante et majorée donc convergente.

Bon courage.

Quand on reste aux suites, il faut faire attention au cas a=1, où on ne peut effectivement pas conclure.

Alors petit message de sa part: d'abord merci, mais pourquoi ne peut-on pas conclure pour a=1 ? ca ne devrait pas diverger ?

Encore merci pour elle!

Passe lui le bonjour, et dis lui que je l'en prie

La démonstration de gui_tou me parait correcte, et implique que dans le cas a=1, on a divergence. C'est l'application pure et simple du critère de convergence.

Je crois qu'il y a là confusion avec la règle de Cauchy et celle de d'Alembert, où il y a effectivement un cas litigieux en 1.

I'm not sure, look at that

And this : (section 3.5)? It doesn't disturb me to speek in English (although I'm not very good at it), but I guess this forum is in French, so...

Peut-être une erreur dans ton lien?

Je suis tout-à-fait d'accord, pour les séries on sait ce qui se passe pour a=1. Pour les suites je me demande bien ce qui fait que c'est une forme indéterminée.

Mais où vois-tu des suites? On parle du comportement de la série de terme général (un). La suite (un), tend de toutes façon vers 0, sinon le problème ne serait même pas intéressant...

En clair :

soit (u_n) une suite de réels positifs telle que (n.u_n) converge vers k>0. A-t-on la convergence de la série ?

le lien que j'ai donné laisse entendre que non, pas forcément ; je me demande bien pourquoi on ne pourrait pas conclure, puisqu'alors u_n~k/n.

Oui non tu as raison, il y a une erreur dans le lien, ils ont bel et bien dû confondre avec la règle de d'Alembert.

Bonne soirée

Petite mise au claire :


Si n*Un tend vers k >0, alors il à partir d'un certain rang on a n*Un >k/2

et donc somme des Un (de n=1 à m) > k/2 * somme de de (n=N à m) de 1/n qui tend vers l'infinie, donc somme des Un diverge

donc si a=1, la série diverge. contrairement à ce qui est dit.

Moralité, ne pas toujour croire ce qui est les livres, et encore moins ce qui est sur internet :p

Je crois que tu as démontré que l'on pouvait conclure que la série diverge. On  même un équivalent des sommes partielles (à cause de la divergence) :


Si l'on ne peut plus se fier aux démonstrations... Par contre, un article internet qui ne donne pas de démonstration...