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Niveau Licence Maths 1e ann
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Relation d' ordre

Posté par
Sangolake
16-10-08 à 19:21

Bonjour, j ai un peu de mal a faire cet exercice. Pouvez vous m aidez svp ?

Soit E un ensemble. On note O(E) l ensemble des relations d ordre sur E. On définfit une relation sur O(E) de la facon suivante: si O1 et O2 sont des éléments de O(E), on note O1O2 si
x, y E, xO1y xO2y.

<1> Vérifier que est un ordre sur E. Quel est le plus petit élément de (O(E), ) ?

<2> Soit OO(E) un ordre total. Montrer que O est le plus grand élément de O(E).

J ai seulement réussi a vérifier que était une relation d ordre.

Posté par
romu
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 19:38



Bonjour,

Pour le 1) compare la relation d'égalité entre deux éléments de E, par un élément de O(E).

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 19:41

Comment ?

Posté par
romu
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 19:43

disons que xO1y signifie que x=y (c'ets bien une relation d'ordre),
si O2 est un élément de O(E), est-il comparable à O1? est-il plus petit?

Posté par
xyz1975
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 19:45

La deuxième est mal posée.

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 19:50

Non car il ya une implication

Posté par
romu
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 19:54

Pour (2) je pense aussi qu'il y a un problème.

Si E  a au moins deux éléments, on peut trouver une relation d'ordre O' tel que O' ne soit pas comparable avec O.

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:07

C est pourtant ca la question. Et la 1) ?

Posté par
romu
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:10

Citation :
Non car il ya une implication


ben si x=y on a bien xO2y par antisymétrie de O2, non?

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:12

Oui mais ca ne répond pas a la question Quel est le plus petit élément de (O(E), )

Posté par
romu
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:14

= est donc un élément de O(E) plus petit (au sens de ) que tous les autres éléments de O(E),
donc c'est le plus petit élément de (O(E),)).

Je ne vois pas ce qui te pose problème.

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:17

Ah mais c est ca !!!  Moi je cherchais un élément comme une lettre

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:17

Mais sinon j ai compris merci. Et la 2) tu n as pas compris ?

Posté par
romu
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:18

tu peux l'appeler 01 au lieu de = si ça te dérange

Posté par
romu
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:19

pour la 2) la question semble mal posée, c'est faux en général.

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:24

Mais la reponse c est = ou O1, c est bien = ?

Citation :
<2> Soit OO(E) un ordre total. Montrer que O est le plus grand élément de O(E).

rectification :Soit O O(E) un ordre total. Montrer que O est un plus grand élément de O(E)

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:31

Dernier question que je n ai pas compris

<3> Soit OO(E) un ordre non total. Soit a et b des éléments de E non comparables pour O.
On définit une relation O' sur E comme suit : si x, y E, xO'y[xOy ou (xOa et bOy))].
Montrer que OO'. Quels sont les plus grands éléments de (O(E),)?

Posté par
romu
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:32

j'ai posé O1:= "=" mais c'est pas grave oublie ça

on définit O' de cette façon xO'y si yOx. O' est dans O(E), et comme O est total, O' est aussi total.

on prend x,y deux élément distincts de E tels que xO'y, ie yOx.

Si xO'y ==> xOy,

alors on a xOy et yOx, donc x=y ce qui est impossible.

donc O' n'est pas plus petit que O, et O n'est donc pas un plus grand élément de O(E).

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:35

j'ai posé O1:= "=" mais c'est pas grave oublie ça
Donc le plus petit élément c est O1 ???? Désolé je n ai toujours pas compris ca ?

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:45

Ni la 3) je n ai pas compris, que fais tu de a et b ?
Je ne veux pas que tu fasses mon exercice mais que tu m explique svp

Posté par
romu
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 20:56

mon post de 20:32, c'était pas pour la 3. c'était pour te montrer qu'il y avait un problème pour la 2.

la 3. est quasi-immédiate.

Montrer que O\leq O' revient par définition à montrer que pour x,y\in E, on a l'implication

xOy\ \Longrightarrow\ xO'y

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 21:50

Ah ok je me disais bien. Et la suite de la 3) svp ?

Posté par
romu
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 21:58

c'est tellement direct que je ne peux pas te donner la suite sans te donner la réponse.

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 22:44

Je vois mais je ne sais pas quoi ecrire pour l expliquer

Posté par
romu
re : Relation d' ordre 16-10-08 à 22:48

xOy\ \Longrightarrow\ [xOy \mbox{ ou } (xOa \mbox{ et } bOy))]\ \Longleftrightarrow\ xO'y

d'où

xOy\ \Longrightarrow\ xO'y

Posté par
Sangolake
re : Relation d' ordre 17-10-08 à 09:20

Et les plus grands éléments ?



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