Bonjour, j ai un peu de mal a faire cet exercice. Pouvez vous m aidez svp ?
Soit E un ensemble. On note O(E) l ensemble des relations d ordre sur E. On définfit une relation sur O(E) de la facon suivante: si O1 et O2 sont des éléments de O(E), on note O1O2 si
x, y E, xO1y xO2y.
<1> Vérifier que est un ordre sur E. Quel est le plus petit élément de (O(E), ) ?
<2> Soit OO(E) un ordre total. Montrer que O est le plus grand élément de O(E).
J ai seulement réussi a vérifier que était une relation d ordre.
disons que xO1y signifie que x=y (c'ets bien une relation d'ordre),
si O2 est un élément de O(E), est-il comparable à O1? est-il plus petit?
Pour (2) je pense aussi qu'il y a un problème.
Si E a au moins deux éléments, on peut trouver une relation d'ordre O' tel que O' ne soit pas comparable avec O.
= est donc un élément de O(E) plus petit (au sens de ) que tous les autres éléments de O(E),
donc c'est le plus petit élément de (O(E),)).
Je ne vois pas ce qui te pose problème.
Mais la reponse c est = ou O1, c est bien = ?
Dernier question que je n ai pas compris
<3> Soit OO(E) un ordre non total. Soit a et b des éléments de E non comparables pour O.
On définit une relation O' sur E comme suit : si x, y E, xO'y[xOy ou (xOa et bOy))].
Montrer que OO'. Quels sont les plus grands éléments de (O(E),)?
j'ai posé O1:= "=" mais c'est pas grave oublie ça
on définit O' de cette façon xO'y si yOx. O' est dans O(E), et comme O est total, O' est aussi total.
on prend x,y deux élément distincts de E tels que xO'y, ie yOx.
Si xO'y ==> xOy,
alors on a xOy et yOx, donc x=y ce qui est impossible.
donc O' n'est pas plus petit que O, et O n'est donc pas un plus grand élément de O(E).
j'ai posé O1:= "=" mais c'est pas grave oublie ça
Donc le plus petit élément c est O1 ???? Désolé je n ai toujours pas compris ca ?
Ni la 3) je n ai pas compris, que fais tu de a et b ?
Je ne veux pas que tu fasses mon exercice mais que tu m explique svp
mon post de 20:32, c'était pas pour la 3. c'était pour te montrer qu'il y avait un problème pour la 2.
la 3. est quasi-immédiate.
Montrer que revient par définition à montrer que pour , on a l'implication
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