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Résolutions d'inéquations

Posté par
Iviod
29-08-16 à 15:33

Bonjour,
J'ai résolu 2 équations que voici :
1) \sqrt{\left|x-3 \right|}\leq x-1
2) \sqrt{x-1}\geq x-7

Seulement je trouvais toujours mon ensemble de solution restreint. J'espère que vous m'aidiez à rectifier mes fautes .
Voici ma solution :

1)  \sqrt{\left|x-3 \right|}\leq x-1 0 \left|x-3 \right| (x-1)2 x-30 et x-3(x-1)2 S'=]-,-3][3,+[ et 0x2-3x+4 (toujours vrai) S=S'S" = ( ]-,-3][3,+[ ) d'où S=]-,-3][3,+[

2) \sqrt{x-1}\geq x-7 x-1 (x-7)2 et x[1,+[ 0 x2 -15x+50 et x[1,+[ S=[5,10][1,+[ = [5,10]

J'espère que quelqu'un puisse me corriger, car je ne vois vraiment pas ou j'ai commis des fautes et pourquoi mes solutions sont fausses.

Merci d'avance !

Posté par
malou Webmaster
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 15:54

Bonjour
houlla...dangereux tout ça...
depuis quand compare-t-on des nombres en comparant leurs carrés...sans prendre la précaution de voir s'ils sont de même signe....
peut-être éviter de résoudre ce type d'inéquation par équivalences....

Posté par
Priam
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 15:59

1) La condition à écrire d'abord pour que l'inéquation existe, c'est  x - 1 0 .
Ensite, il convient de considérer deux cas, suivant que  x - 3 est positif ou négatif. Les barres de valeur absolue pourront être supprimer dans chaque cas.
Il semble que tu aies bien traité le cas  x - 3 0 . Reste à examiner les cas  x - 3 0 .

Posté par
Priam
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 16:00

Ensuite . . . supprimées !

Posté par
hekla
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 16:06

Bonjour

\begin{cases}|x-3|\geqslant 0\\x-1\geqslant 0\end{cases}

conclusion inéquation n' a de sens que pour  x\geqslant 1

passons au carré

|x-3|\leqslant (x-1)^2

deux cas

x\geqslant 3 à résoudre x-3\leqslant (x-1)^2

x\leqslant 3 à résoudre -x+3\leqslant (x-1)^2

Posté par
valhockey04
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 18:12

Pour 1)  j'ai x <= 1+sqrt(3) ou x<=1-sqrt(3)

Posté par
valhockey04
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 18:17

autant pour moi  x<=2

Posté par
valhockey04
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 18:18

autant pour moi  x>=2

Posté par
hekla
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 18:23

l'ensemble solution de  l'inéquation  1  est  [2~;~+\infty[

Posté par
Iviod
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 18:30

Oui , c'est [2,+[.
Merci énormément pour vos réponses .
Je vois où est la faute dans ce que j'ai fais.
Mais pour l'inéquation 2) , je ne vois pas où je commet de faute.

Posté par
kenavo27
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 18:40

bonjour à tous,

Citation :
Mais pour l'inéquation 2) , je ne vois pas où je commet de faute.

Iviod,
relis ton ensemble solution de l'inéquation

Posté par
hekla
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 18:44

reprenez le premier système en l'adaptant

\begin{cases}x+1\geqslant 0\\x-7\geqslant 0\end{cases}   conclusion x\geqslant \cdots

l'inéquation   x-1\geqslant (x-1)^2 a pour ensemble solution [5~;~10]

concluez

Posté par
hekla
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 18:45

il faut évidemment lire x-1\geqslant 0 dans la première inéquation du système

Posté par
Iviod
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 19:14

L'inéquation 2) existe pour x-10 , donc l'ensemble de solution est contenu dans [1,+[ non ?
Pouvez-vous m'expliquer hekla pour x-10 et x-70 s'il vous plait ? Aussi on aura comme conclusion x[-1,+[ et son intersection avec [5,10] est [5,10] ce qui n'est pas tout à fait correct puisque on peut vérifier pour 2 et l'inéquation reste correcte.

Posté par
malou Webmaster
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 19:23

et si ton membre de droite (de l'inéquation) est négatif.....(d'où ma toute première remarque...)

Posté par
Iviod
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 19:29

Oui je l'avais remarqué, mais alors , l'équation est vérifiée pour tous x de [-1,+[ , on n'étudie pas ce cas, non ? :O Et si on résout le systeme proposé par hekla , on trouvera [7,+[ , et les solutions sont dans [5,10] , l'intersection donne alors [7,10]

Posté par
kenavo27
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 19:32

Citation :
x-10 et x-70

ou
x-1 ET  x7

------(-1)----------(5)----------(7)-----------(10)-----------------------+oo

Posté par
malou Webmaster
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 19:40

bien sûr que x1 avec x-70 doit être étudié.....

Posté par
Iviod
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 19:55

On doit donc étudier :
$\left \lbrace \begin{array}{r @{ \geq } l} x-1 & 0 \\ x-7 & 0 \\ x-1 & (x-7)^{2} \end{array} \right.
et $\left \lbrace \begin{array}{r @{ \geq } l} x-1 & 0 \\ 0 & x-7 \\ x-1 & (x-7)^{2} \end{array} \right.
Mais n'aurait on pas alors, S=S1S2={x[1,+[ et x[7,+[ et x[5,10]} { x[1,+[ et x]-,7] et x[5,10]} = [7,10][5,7] = [5,10] ?

Posté par
malou Webmaster
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 20:02

revois la finalité de ton 2e système....
pourquoi écris-tu que x-1\ge 0 ? .....pour que la racine ait une existence
et si tu supposes que le membre de droite x-7 est négatif...
à quoi arrives-tu comme inégalité à résoudre ?

que cette racine carrée doit être supérieure à un nombre négatif....
réfléchis, ne fais rien de systématique
alors ?

Posté par
Iviod
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 20:06

Je vois, si x-7 est négatif , avec l'intersection de l'ensemble de définition de l'inéquation , on trouve qu'elle est vérifiée pour tous les x appartenant à [1,7] , aussi avec le premier systeme pour x-7 est positif , on trouve [5,10] , avec la réunion ( car on a fait une disjonction des cas , donc on fais la réunion des deux ensembles de solutions ) on trouve S=[1,10] ? ^^'

Posté par
malou Webmaster
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 20:10

oui, voilà....
personnellement, je pense que la disjonction des cas pour les inégalités de ce type est rassurant et fonctionne bien....
c'est ce que je disais au début, attention équivalences sur ce genre d'exos

Posté par
Iviod
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 20:12

Oui merci énormément , c'est soulageant à la fin ^^ . Merci encore !
Sinon si on fait pas d'équivalences , comment peut-on avoir la réciproque ? Il est difficile de vérifier tout un ensemble de solution non ? Et parfois il est difficile de montrer l'inéquation juste en comparant si vous voyez ce que je veux dire.

Posté par
malou Webmaster
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 20:22

ce sont tes équivalences du début qui n'étaient pas justes

après au sein de chaque cas étudié, tu travailles par équivalences si besoin
quoique , dire simplement qu'une racine est toujours supérieure à un nombre négatif, tu n'as pas besoin d'équivalences là...
voilà toujours réfléchir avant de se lancer...

Posté par
carpediem
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 20:25

salut

\sqrt {|x - 3|} \le x - 1

Citation :
1) La condition à écrire d'abord pour que l'inéquation existe, c'est  x - 1 0 .


c'est très mal dit ...

il est évident que si x < 1 alors l'équation n'a pas de solution (mais elle existe !!)

donc toute solution est supérieure à 1 et il est inutile de considérer les éventuelles solutions strictement inférieures à 1 qui pourrait éventuellement apparaître ...

on suppose donc x >= 1 ... et alors tout est positif et on peut élever au carré en conservant l'ordre

on obtient donc |x - 3| \le (x - 1)^2

premier cas : 1 =< x =< 3
deuxième cas : 3 =< x

....

Posté par
hekla
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 20:29

on aurait pu commencer par éliminer le cas où  x-7\leqslant 0 puisque dans ce cas on a un nombre positif supérieur à un nombre négatif  la conclusion si x\leqslant 7 est donc l'intervalle [1~;~7]

si x\geqslant 7  on a montré  que

l'inéquation   x-1\geqslant (x-1)^2 a pour ensemble solution [5~;~10]

dans ce cas on a [7~;~10}  et d'une manière générale [1~;~7]\cup[7~;~10]

Posté par
carpediem
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 20:32

\sqrt {x - 1} \ge x - 7

condition d'existence (le premier membre existe ssi) : x >= 1

pb : le second membre change de signe ...

premier cas : x >= 7 : on élève au carré sans pb

deuxième cas : 1 =< x =< 7 : trivial : tout nombre positif est supérieur à un nombre négatif ...

Posté par
Iviod
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 23:40

Merci pour votre réponse carpediem
J'aimerai revenir sur la première inéquation , après la disjonction de cas, ne devrait-on pas faire la réunion des ensembles de solutions obtenues avec chaque inéquation ?

Posté par
Iviod
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 23:53

Je m'excuse du double post , mais voyez : Premier cas : 1 =< x =< 3  , on trouve que l'inéquation obtenue est vérifiée pour tout x de R , dans son ensemble de solution est S'= [1,3]. Deuxième cas : 3 =< x , on trouve S"= (]-,-1][2,+[ ) [3,+[ , on trouve donc S"=[2,+[ .
Pour l'ensemble de solution final , on a S=S'S" ( puisqu'on a fait une disjonction des cas, donc on prend la réunion des deux ensembles de solutions ) , on trouve alors que S=[1,+[

Posté par
Iviod
re : Résolutions d'inéquations 29-08-16 à 23:54

On trouve S"=[3,+[ je m'excuse encore...

Posté par
malou Webmaster
re : Résolutions d'inéquations 30-08-16 à 08:35

re
pour la 1re inéquation, récapitulons
1) \sqrt{\left|x-3 \right|}\leq x-1

a un sens sur R (grâce à la valeur absolue sous le radical)
1er cas
x<1 on obtient \sqrt{\left|x-3 \right|} < 0 d'où pas de solution S_1=

2e cas
x1
je peux comparer les carrés, ce qui donne
|x-3|\le (x-1)^2
--> pour x [1 ; 3] on obtient -x+3\le (x-1)^2 d'où un ensemble de solution S_2=[2\,;\,3]
--> pour x[3 ; +] on obtient x-3\le (x-1)^2 d'où un ensemble solution S_3=[3\,;\,+\infty[

ton ensemble solution est bien la réunion des 3 ensembles solutions obtenus dans les 3 cas successifs
et je trouve S=[2\,;+\infty[
sauf erreur

Posté par
Iviod
re : Résolutions d'inéquations 30-08-16 à 20:31

Je vois , merci énormément pour votre solution .
J'ai mal fais la disjonction des cas ^^'

Posté par
malou Webmaster
re : Résolutions d'inéquations 31-08-16 à 09:25



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