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Niveau Maths sup
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Resoudre equadiff non lineaire

Posté par
olsapass
24-07-09 à 15:53

Bonjour j'aimerais résoudre cette equadiff

  C'est sur un probleme de physique

   Vo : Vitesse a t=0 donc constante
   R : Rayon constant
   0 : theta , angle qui varie en fonction du temps
   d0/dt : derivée de teta
   l : constante

    Vo = (R0-l)*d0/dt

Je trouve :  R0²/2 - l0 - Vot = 0  mais j'ai integré a gauche est a droite avec des variables differentes.

   Peut on utiliser LAPLACE , si oui  , comment?  
Pouvez vous me conseiller un cours sur le net concernant la methode de laplace et les equadiff .

  Merci

Posté par
olsapass
re : Resoudre equadiff non lineaire 24-07-09 à 15:55

Il ya confusion sur les notations desolé

  C'EST R0²/2 - l0 - Vot = ZERO    l'autre 0 , cest theta

Posté par
olsapass
re : Resoudre equadiff non lineaire 24-07-09 à 18:31

UPPPPP

LAPLACE SIL VOUS PLAI

Posté par
lafol Moderateur
re : Resoudre equadiff non lineaire 24-07-09 à 22:08

Bonjour
au lieu de "égale eéro", j'aurais préféré "= constante" ....

Posté par
olsapass
re : Resoudre equadiff non lineaire 26-07-09 à 21:33

je ne comprends pas
oui si vous voulais

Posté par
genko
re : Resoudre equadiff non lineaire 28-07-09 à 04:16

Salut olsapass,
Si je vois bien, l'équation est : \left(R\cdot\theta-l\right)\frac{d\theta}{dt}=V_{0}.

Et vu ton résultat, je peux en déduire que tu as travaillé avec la condition initiale \theat(0)=0.
Ce que lafol essayait de te dire par "=constante" au lieu de "=0" est la solution générale de ton équation si l'on ne connaissait pas la condition initiale (vu que tu n'en as pas donné).

Pour la résolution, tu peux utiliser ici la méthode de séparation de variables :
\left(R\cdot\theta-l\right)\frac{d\theta}{dt}=V_{0}
\Longrightarrow \left(R\cdot\theta-l\right)d\theta=V_{0}\cdot dt
\Longrightarrow \int_{\theta_{0}}^{\theta(t)}\left(R\cdot\theta-l\right)d\theta=\int_{t_{0}}^{t}V_{0}\cdot dt
\Longrightarrow \left[\frac{1}{2R}(R\theta-l)^{2}\right]_{\theta_{0}}^{\theta(t)}=\left[V_{0}t\right]_{t_{0}}^{t}
\Longrightarrow \frac{1}{2R}(R\theta-l)^{2}-\frac{1}{2R}\left(R\theta_{0}-l\right)^{2}=V_{0}t-V_{0}t_{0}
\Longrightarrow \frac{1}{2R}(R\theta-l)^{2}=V_{0}t+\frac{1}{2R}\left(R\theta_{0}-l\right)^{2}-V_{0}t_{0}
Et suivant la condition initiale \theta_{0} en t_{0}, tu pourras finalement exprimer \theta en fonction de t.

Dans le cas où tu prends comme condition initiale \theat(0)=0, nous avons:
\Longrightarrow (R\theta-l)^{2}=2R\cdot V_{0}t+l^{2}
Une expression plus explicite dépendra des réalités physiques de ton problème.


Si tu dois résoudre le problème par Laplace, il faut d'abord mettre l'équation sous une forme convenable:
\left(R\cdot\theta-l\right)\frac{d\theta}{dt}=V_{0}
\Longrightarrow \left(\frac{1}{2R}(R\theta-l)^{2}\right)^{'}=V_{0}
\Longrightarrow y^{'}=V_{0} avec y=\frac{1}{2R}(R\theta-l)^{2}
Avec cette dernière forme, tu peux facilement utiliser la transformée de Laplace :
\Longrightarrow \mathcal{L}\left(y^{'}\right)=\mathcal{L}\left(V_{0}\right)
\Longrightarrow p\cdot Y(p)-y(0)=\frac{V_{0}}{p} avec Y(p)=\mathcal{L}\left(y\right)
\Longrightarrow Y(p)=\frac{V_{0}}{p^{2}}+\frac{y(0)}{p}
\Longrightarrow \mathcal{L}^{-1}\left(Y(p)\right)=\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{V_{0}}{p^{2}}+\frac{y(0)}{p}\right)
\Longrightarrow y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{V_{0}}{p^{2}}\right)+\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{y(0)}{p}\right)
\Longrightarrow y(t)=V_{0}t+y(0)
\Longrightarrow \frac{1}{2R}(R\theta-l)^{2}=V_{0}t+\frac{1}{2R}\left(R\theta_{0}-l\right)^{2}
Il faut signaler que dans le cas de Laplace, la solution n'est valable que pour t supérieur ou égal à 0.

Je trouve cependant que tu perdras beaucoup plus de temps à résoudre ce problème par Laplace que par la méthode de variables séparés.

Pour le reste, je te laisse faire.

Merci.



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