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résoudre une équation dans C

Posté par
lice84
29-09-08 à 18:35

bonjour, voilà j'ai deux exo sur les nombres cmoplexes cependant, j'ai un problème avec la première question du second et je ne peux pas continuer si ne la fait pas. :s (& j'aurai bien aimé que vous me disiez si le premier est bon, cvp )

voici le premier: résoudre dans C z²=4-3i
==> J'ai trouvé: z=2+racine(3i)

quant au second: soit p(z)=z^3-(2+i)z²+(2+2i)z-2i. il faut démontrer que p admet une suele racine imaginaire pure qu'on doit déterminer.
==> J'ai essayé de tourner l'équation dasn les sens et j'ai obtenu: p(z)=z(z²-2z+2)+i(z²+2z-2) mais ça ne m'a pas trop aidé :s

Pouvez-vous m'aider svp ? Merci d'avance.

Posté par
lice84
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 18:59

svp

Posté par
lice84
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 19:50

j'ai peut-être trouvé quelque chose mais je ne usis pas sûre: 2z²i+2z^3= z²(2z+2i)=0 <=> 2z+2i=0 <=> z=i
qu'en pensez-vous ???
je ne sais pas si je peux marqué c'est égal à 0 car normalement c'est y ?!!

Posté par
pgeod
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 20:01


soit p(z)=z^3-(2+i)z²+(2+2i)z-2i. il faut démontrer que p admet une suele racine imaginaire pure

on pose z = bi

p(bi) = -b3i + (2 + i)b² + (2 +2i) bi - 2i
........... à mettre sous la forme A + iB
puis p(ib) = 0 <=> A = 0 et B = 0

...

Posté par
veleda
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 20:05

bonsoir,
je ne trouve pas comme toi
soit z=x+iy
z²=x²-y²+2ixy=4-3i
on identifie les parties réélles de chaque membre et les imaginaires
d'où le système
x²-y²=4
2xy=-3
cela me donne (sauf erreur de calcul)
x=(32)/2 on en déduit y
un nombre complexe a deux racines carrées
je regarde l'autre après le repas

Posté par
lice84
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 20:37

pardon Veleda mais je ne voix pas comment vous obtenez
x=(3racine2)/2
moi j'obtiens a=racine (4+b²) et (4+b²)b²=9/4, mais je n'arrive pas à allez plus loin ...

Posté par
lice84
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 20:49

pour l'exo 2 j'ai iben compris comment mettre sosu la forme A + Bi donc j'obtiens un produit de 2 facteurs égal à 0.
j'ai fait: 2b²+2b=0 et -b^3i+b²i-2bi-2i=0
j'obtiens: 2-2=0 donc A=0 et -2i-2i=0 donc B=0
mais je ne voix pas comment avec ce résultat trouver ce nombre imaginaire pur ??

Posté par
veleda
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 21:00

pour le second exercice:
on veut montrer qu'il n'y a qu'une racine imaginaire pure donc on va chercher une racine de la forme z=iu
avec u réel
en remontant pour voir le texte je me rends compte que pgeod(que je salue)t'a proposé cette méthode as-tu réussi? je trouve que la seule racine imaginaire pure c'est i

Posté par
lice84
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 21:03

ahhh d'accord vous aussi vous trouvez que B (de l'expression donnée par pgeod) égale O lorsqu'il vaut i ??
Si c'est le cas alors, j'ai compris ==> le chiffre imaginarie pur que l'on me demande c'est i, non ??

Posté par
lice84
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 21:06

enfin non parodn ce n'est pas i mais c'est 1 puisque la partie imaginaire c'est B et pas Bi.

Posté par
veleda
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 21:17

je reprends le premier
tu es d'accord avec le système
a²-b²=4  (1)
  2ab=-3  (2) en reprenant tes notations

(2)=>b=-3/2a
on remplace dans (1)
a²-9/(4a²)=4 soit
4a4-16a²-9=0
X=a² positif
4X²-16X-9=0  cette équation a deux racines de signes opposés seule la positive nous intéresse
c'est X=9/2 donc deux valeurs pour a a=)32)/2

Posté par
veleda
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 21:25

b=-3/2a
donc   z'=(32)/2-i2/2 et z"=-z'
tu peux aussi remplacer la seconde équation par x²+y²= |4-3i|=5
c'est plus rapide mais attention tu trouves x² et y²  il faut quand même utiliser (2) pour savoir que x et y sont de signes contraires

Posté par
lice84
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 21:36

ok, alors j'ai compris votre déroulement cependant, ce que je n'avais pas réussi à faire c'est le passage de
a²-9/(4a²)=4 à 4a^4-16a²-9=0

Posté par
veleda
re : résoudre une équation dans C 29-09-08 à 21:38

pour revenir au second exercice je trouve que P(iu)=2u(u-1)+i(-u3+u²+2u-2)=2u(u-1)+i(u-1)(2-u²)
seul u=1 annule la partie réelle et la partie imaginaire de P(iu) donc c'est u=1 et il n'y a comme solution imaginaire pure que z=i
en examinant P(z) on aurait pu voir que P(z)=(z-i)(z²-z+2) et vérifier que le trinôme z²-z+2 n'a pas de racines imaginaires pures

Posté par
lice84
re : résoudre une équation dans C 01-10-08 à 15:18

excusez moi je n'ai pas pu répondre avant mais
je suis d'accord pour le second exercice
Cependant pour le premier j'ai toujours ce problème: je ne parviens à comprendre le passage de
a²-9/(4a²)=4 à 4a^4-16a²-9=0

Posté par
veleda
re : résoudre une équation dans C 01-10-08 à 21:49

je reprendsa^2-\frac{9}{4a^2}-4=0
on multiplie les deux membres par 4a^2 cela donne
a^2(4a^2-9-4(4a^2)=0  soit
4a^4-9-16a^2=0

Posté par
lice84
re : résoudre une équation dans C 02-10-08 à 15:27

ah d'accord !! merci beaucoup. J'ai bien compris !!

Posté par
veleda
re : résoudre une équation dans C 02-10-08 à 19:16

tant mieux

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