On considère la fonction f définie sur l'intervalle [2 ; 8] par : f(x)=−x²+10x−16/x²
Bonjour, je fait des exercices pris sur internet pour m'entrainer, et je suis bloqué à celui là.. Pourriez vous m'aider s'il vous plait?
On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.
1.Montrer que pour tout réel de l'intervalle [2 ; 8], on a : f′(x)= −10x+32/x^3
a.Étudier le signe de f ′(x) sur l'intervalle [2 ; 8].
b.En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle [2 ; 8].
2.On appelle f′′ la dérivée seconde de f sur [2 ; 8].
On admet que, pour tout réel x de l'intervalle [2 ; 8], on a : f′′(x)= 20x−96 / x^4
a.Montrer que f est une fonction convexe sur [4,8 ; 8].
b.Montrer que le point de (C) d'abscisse 4,8 est un point d'inflexion.
3.On considère la fonction F définie sur [2 ; 8] par :F(x)=−x+10ln x + (16/x)
a.Montrer que F est une primitive de f sur [2 ; 8].
b.Calculer
I=
8
∫
2
f(x)dx
et prière de soigner les notations :
f(x)=−x²+10x−16/x² ou f(x)=(−x²+10x−16)/x² ce qui n'est pas la même chose et beaucoup utilisent la 1ère notation alors que la fonction est en fait la seconde...
(idem pour tes dérivées et dérivées seconde!)
Oui désolé...
je suis bloqué pour la dérivée, je ne trouve pas la même..
Je suis également bloqué pour montrer que la fonction est convexe est qu'elle admet un point d'inflexion; et aussi pour la primitive..
ok
pour la dérivée méthode classique (u/v)'=...
je te laisse me dire ce que ca fait , u v et u' et v' puis appliquer
((-2x+10)*x² - (-2x²+10x-16)*2x)/ (x²)² il n'y a pas de 2!
tu développes les -2x3 et 2x3 s'annulesnt +10x² et -20x² donnent -10x² ensuite tu factorise par x et simplifie par x.
1b) tu fais un tableau de signe pour f' sur l'intervalle [2;8] et en déduit ton tableau de variation en ajoutant les valeurs de f(2) f(8) et f(a) avec a la valeur qui annule f' si elle existe dans l'intervalle.
oui!
cf. post de 12:37
merci, je n'avais pas vu. Je fait tous ça et si j'ai un soucis je vous recontacte si celà ne vous dérange pas
Alors, x^3 est toujours positive il me semble, donc dans la ligne x^3 j'ai mis "+",
par contre, je ne sais pas comment faire pour 10x²-32x.. Faut il calculer delta?
Ensuite, j'ai trouvé pour f(2)=-3 et f(8)=0.75
je ne sais pas comment faire pour 10x²-32x. je te rappelle que tu as simplifié par x (et que c'est l'opposé en plus)
donc c'est -10x+32. Je pense que tu dois pouvoir trouver la valeur qui annule dela!
(sinon pour le calcul de delta, ce ne serait pas franchement utiliser puisque tu pourrais factoriser facilement par x et donc trouver aisément les racines...)
Dans ce cas je trouve que -10x+32 est + puis -, car a (-10x) est négative.
Par ailleurs, :
-10x+32=0
-10x=-32
x=-32/10 = -3.2
ce qui signifie qu'en f(-3.2)=0 c'est bien ça?
Pourquoi attention au signe ?
donc pour trouver f(2), f(8), et f(-3.2) je doit prendre la fonction f. Mais dans ce cas, f(2) et f(8) font 0 et f(-3.2)=-0.5625...
pour ce qui est de " -10x+32 est + puis -, car a (-10x) est négative. " est-ce bon?
pourquoi attention au signe parce que -10x=-32 cela donne x=-32/-10 soit 32/10 ou encore 3.2
il n'y a pas de signe - devant 3.2 (d'ailleurs -3.2 n'appartient pas à l'intervalle [2;8]!)
f(2)=0 et f(8)=0 oui!
-10x+32 est + puis -, car a (-10x) est négative le résultat est juste mais l'explication est un peu bancale... (a n'est pas -10x mais -10 si tu pensais au signe de ax+b de part et d'autre de -b/a)
f(3.2) est à calculer (et il s'agit forcément d'une valeur positive puisque f est croissante entre 2 et 3.2 (puis décroissante après)
oui exact... Donc dans ce cas, le tableau revient à :
x | 2 3.2 8|
-10x+32 | + - |
x^3 | + + |
f'(x) | + - |
f(x) |0 flèche vers le haut 0.56 flèche vers le bas 0 |
3.2 est il bien placé ?
ah oui exact, j'ai cru qu'il fallait le montrer!
tu dois donc étudier le signe de f" pour savoir si f est convexe ou concave
Alors, dans un tableau j'étudie séparement 20x-96 et x4
donc 20x-96 est + puis -
x4 est + +
mais l'intervalle est [4.8;8]
f(4.8)=0.39
f(8)=0
donc dans le tableau de signe je ne met que le signe +, et sur cet intervalle, la fonction est concave.
Est ce ça ?
donc 20x-96 est + puis -
c'est - jusqu'à 4.8 puis + au delà; d'où la convexité entre 4.8 et 8 et le changement de signe 4.8 qui donne le point d'inflexion
comment savez vous que la fonction est négative avant 4.8 ?
de plus, le valeur f(4.8) = 0.39 et f(8)=0, ce qui signifie qu'elle est décroissante donc que la dérivée 2nd est négative..
ce n'est pas la fonction mais la dérivée seconde
et c'est lié au signe de 20x-96 (puisque x4est toujours positif)
comment ça dans ce cas la fonction n'est pas convexe?
la dérivée seconde est positive entre 4.8 et 8 donc la fonction est convexe sur cet intervalle
la dérivée seconde est négative entre 2 et 4.8 donc la fonction est concave sur cet intervalle
en C d'abscisse 4.8, il y a un point d'inflexion puisque c'est en ce point que la courbe change de concavité.
c'est normal que f diminue puisque sa dérivée est négative.
Cela ne signifie pas que ta fonction est concave ou convexe pour autant. Cela va être lié au fait que ta fonction décroit de plus en plus fortement opu au contraire qu'elle décroit mais de plus en plus faiblement.
Bonjour,
J'essaye moi aussi de faire cet exercice et je n'arrive pas la troisième question a)
Je ne sais pas dériver avec les logarithmes, comment faire ?
Merci
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