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Révision bac, fonction, convexité, ln

Posté par
Coco18
01-05-14 à 12:16

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [2 ; 8] par : f(x)=−x²+10x−16/x²

Bonjour, je fait des exercices pris sur internet pour m'entrainer, et je suis bloqué à celui là.. Pourriez vous m'aider s'il vous plait?


On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

1.Montrer que pour tout réel de l'intervalle [2 ; 8], on a : f′(x)= −10x+32/x^3
a.Étudier le signe de f ′(x) sur l'intervalle [2 ; 8].
b.En déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle [2 ; 8].
2.On appelle f′′ la dérivée seconde de f sur [2 ; 8].
On admet que, pour tout réel x de l'intervalle [2 ; 8], on a : f′′(x)= 20x−96 / x^4

a.Montrer que f est une fonction convexe sur [4,8 ; 8].
b.Montrer que le point de (C) d'abscisse 4,8 est un point d'inflexion.
3.On considère la fonction F définie sur [2 ; 8] par :F(x)=−x+10ln x + (16/x)
a.Montrer que F est une primitive de f sur [2 ; 8].
b.Calculer
I=
8

2
f(x)dx

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:20

Bonjour,

quelle partie ne sais-tu pas faire?

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:23

et prière de soigner les notations :

f(x)=−x²+10x−16/x²       ou  f(x)=(−x²+10x−16)/x²   ce qui n'est pas la même chose et beaucoup utilisent la 1ère notation alors que la fonction est en fait la seconde...

(idem pour tes dérivées et dérivées seconde!)

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:26

Oui désolé...

je suis bloqué pour la dérivée, je ne trouve pas la même..
Je suis également bloqué pour montrer que la fonction est convexe est qu'elle admet un point d'inflexion; et aussi pour la primitive..

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:29

ok
pour la dérivée méthode classique (u/v)'=...

je te laisse me dire ce que ca fait , u v et u' et v' puis appliquer

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:33

Je trouve :

((-2x+10)*x² - (-2x²+10x-16)*2x)/ (x²)²

et ensuite je n'arrive pas à réduire

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:35

((-2x+10)*x² - (-2x²+10x-16)*2x)/ (x²)²    il n'y a pas de 2!


tu développes  les -2x3 et 2x3 s'annulesnt   +10x² et -20x² donnent -10x²    ensuite tu factorise par x et simplifie par x.

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:37

comment trouvez-vous le 2x^3?

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:37

1b)  tu fais un tableau de signe pour f' sur l'intervalle [2;8]  et en déduit ton tableau de variation en ajoutant les valeurs de f(2) f(8) et f(a)   avec a la valeur qui annule f'  si elle existe dans l'intervalle.

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:39

en développant: ((-2x+10)*  donne -2x3

et  - (-2x²+10x-16)*2x   donne +2x3

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:39

je l'ai trouvé c'est bon, juste une erreur bête... (x²)² = x^3?

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:40

zut il y a le 2 en trop!   - (-x²+10x-16)*2x

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:42

Citation :
(x²)² = x^3?
   ouh là     non!  ca fait x4

on finit par x3 au dénominateur du fait de la simplification par x qu'on aura mis en facteur au numérateur

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:43

je ne comprend pas cette partie... Car sur la dérivée finale, on ne voit pas le x en facteur..

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 12:57

tu dois trouver (-10x²+32x)/x4  soit x(-10x+32)/x.x3  et tu simplifies par x

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 13:16

Ah oui d'accord, merci beaucoup!
Et pour la suite, pouvez vous m'aider?

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 13:18

oui!

cf. post de 12:37

Citation :
1b)  tu fais un tableau de signe pour f' sur l'intervalle [2;8]  et en déduit ton tableau de variation en ajoutant les valeurs de f(2) f(8) et f(a)   avec a la valeur qui annule f'  si elle existe dans l'intervalle.

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 13:20

merci, je n'avais pas vu. Je fait tous ça et si j'ai un soucis je vous recontacte si celà ne vous dérange pas

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 13:26

   non cela ne me dérange pas!  

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 13:32

Alors, x^3 est toujours positive il me semble, donc dans la ligne x^3 j'ai mis "+",
par contre, je ne sais pas comment faire pour 10x²-32x.. Faut il calculer delta?

Ensuite, j'ai trouvé pour f(2)=-3 et f(8)=0.75

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 13:38

je ne sais pas comment faire pour 10x²-32x.   je te rappelle que tu as simplifié par x (et que c'est l'opposé en plus)

donc c'est -10x+32.  Je pense que tu dois pouvoir trouver la valeur qui annule dela!

(sinon pour le calcul de delta, ce ne serait pas franchement utiliser puisque tu pourrais factoriser facilement par x et donc trouver aisément les racines...)

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 13:47

Dans ce cas je trouve que -10x+32 est + puis -, car a (-10x) est négative.
Par ailleurs, :
-10x+32=0
-10x=-32
x=-32/10 = -3.2

ce qui signifie qu'en f(-3.2)=0 c'est bien ça?

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 13:49

Citation :
-10x=-32
x=-32/10
  attention au signe!!!  
Citation :
ce qui signifie qu'en f(-3.2)=0 c'est bien ça?
non!
ca signifie que f'(3.2) est nul; il reste à calculer f(3.2)  (en partant de la définition de f(x))

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 13:56

Pourquoi attention au signe ?

donc pour trouver f(2), f(8), et f(-3.2) je doit prendre la fonction f. Mais dans ce cas, f(2) et f(8) font 0 et f(-3.2)=-0.5625...

pour ce qui est de " -10x+32 est + puis -, car a (-10x) est négative. " est-ce bon?

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:09

pourquoi attention au signe parce que -10x=-32 cela donne x=-32/-10 soit 32/10 ou encore 3.2

il n'y a pas de signe - devant 3.2 (d'ailleurs -3.2 n'appartient pas à l'intervalle [2;8]!)

f(2)=0 et f(8)=0  oui!

-10x+32 est + puis -, car a (-10x) est négative    le résultat est juste mais l'explication est un peu bancale... (a n'est pas -10x mais -10 si tu pensais au signe de ax+b de part et d'autre de -b/a)


f(3.2) est à calculer (et il s'agit forcément d'une valeur positive puisque f est croissante entre 2 et 3.2 (puis décroissante après)

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:16

oui exact... Donc dans ce cas, le tableau revient à :


x       | 2                   3.2                       8|
-10x+32 | +                                            - |
x^3     | +                                            + |
f'(x)   | +                                            - |

f(x)    |0 flèche vers le haut 0.56 flèche vers le bas 0 |

3.2 est il bien placé ?

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:19

la valeur de f(3.2) = 0.5625

Maintenant dériver de nouveau f' pour obtenir f"

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:21

donc mon tableau est bon?

La dérivée seconde nous est déjà donné : f"(x)= (20x-96)/x4

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:31

ah oui   exact, j'ai cru qu'il fallait le montrer!

tu dois donc étudier le signe de f" pour savoir si f est convexe ou concave

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:37

Alors, dans un tableau j'étudie séparement 20x-96 et x4
donc 20x-96 est + puis -
x4 est + +

mais l'intervalle est [4.8;8]
f(4.8)=0.39
f(8)=0

donc dans le tableau de signe je ne met que le signe +, et sur cet intervalle, la fonction est concave.

Est ce ça ?

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:38

ah non, c'est pas très logique qu'elle soit positive si les valeurs sont 0.38 puis 0 ....

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:42

sans compter que pour être convexe la fonction doit être - ..

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:44

donc 20x-96 est + puis -

c'est - jusqu'à 4.8 puis + au delà; d'où la convexité entre 4.8 et 8   et le changement de signe 4.8  qui donne le point d'inflexion

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:50

comment savez vous que la fonction est négative avant 4.8 ?

de plus, le valeur f(4.8) = 0.39 et f(8)=0, ce qui signifie qu'elle est décroissante donc que la dérivée 2nd est négative..

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:53

ce n'est pas la fonction mais la dérivée seconde

et c'est lié au signe de 20x-96 (puisque x4est toujours positif)

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:55

d'accord, et pour ce qui en est de mes valeurs?

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 14:58

oui c'est bon!

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 15:00

mais celà signifie que la fonction est décroissante et donc la dérivée 2nd négative donc concave..

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 15:26

??

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 15:32

Citation :
celà signifie que la fonction est décroissante
non!

on parle de la dérivée seconde qui est négative donc c'est f' qui est décroissant et pas f!

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 15:33

oui mais dans ce cas, la fonction n'est pas convexe

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 15:57

comment ça dans ce cas la fonction n'est pas convexe?

la dérivée seconde est positive entre 4.8 et 8 donc la fonction est convexe sur cet intervalle
la dérivée seconde est négative entre 2 et 4.8 donc la fonction est concave sur cet intervalle
en C d'abscisse 4.8, il y a un point d'inflexion puisque c'est en ce point que la courbe change de concavité.

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 16:00

je dit ça car j'ai f(4.8)=0.39 et f(8)=0, ce qui va en diminuant..

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 16:07

c'est normal que f diminue puisque sa dérivée est négative.

Cela ne signifie pas que ta fonction est concave ou convexe pour autant. Cela va être lié au fait que ta fonction décroit de plus en plus fortement opu au contraire qu'elle décroit mais de plus en plus faiblement.

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 16:13

D'accord. Donc comment je prouve celà, comment je l'écrit ?

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 16:32

Citation :
la dérivée seconde est positive entre 4.8 et 8 donc la fonction est convexe sur cet intervalle
  c'est ce que l'on te demande pour le 2a
Citation :
la dérivée seconde est négative entre 2 et 4.8 donc la fonction est concave sur cet intervalle
en C d'abscisse 4.8, il y a un point d'inflexion puisque c'est en ce point que la courbe change de concavité.
pour le 2b

pour le 3  dériver F et vérifier que l'on obtient f.
ensuite calculer F(8)-F(2)!  (pour le 3b)

Posté par
Coco18
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 16:36

j'ai réussi le 2b et le 3. Merci pour tout!

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 01-05-14 à 16:58

Je t'en prie.

Posté par
lnlitrou
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 25-02-15 à 14:45

Bonjour,
J'essaye moi aussi de faire cet exercice et je n'arrive pas la troisième question a)
Je ne sais pas dériver avec les logarithmes, comment faire ?
Merci

Posté par
sbarre
re : Révision bac, fonction, convexité, ln 25-02-15 à 15:17

Dans la mesure ou il est "facile" de dériver F et plus difficile de  trouver une primitive de f...je ne vois pas comment ou peut répondre à la question en s'affranchissant de dériver ln(x).

la dérivée de ln(x) est 1/x  et celle de ln(u(x)) est u'(x)/u(x)



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