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Niveau Maths sup
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rg(fog)

Posté par
comlich
05-04-08 à 14:56

Boujour à tous.

Je suis sur un bout d'exercice où j'ai à montrer que
rg(fog)inf(rg(f),rg(g)), on ne me précise rien ni sur f ni sur g (bien sûr ce sont des applications linéaires mais de quels espaces vectoriels), et je ne trouve pas de voies pour y parvenir, j'ai pensé à la formule du rang, en supposant fL(E,F) et gL(F,G) où E, F et G sont des espaces vectoriels de dimensions finies,  mais ça ne me mène pas bien loin.
J'aimerais s'il vous plaît avoir une indication pour montrer cette inégalité, et aussi les hypothèses sur f et g qui lui sont compatibles.

Je vous remercie d'avance.

Posté par
lafol Moderateur
re : rg(fog) 05-04-08 à 15:20

Bonjour
pour que fog soit définie, ce serait plutôt g de E vers F et f de F vers G ...

Posté par
comlich
re : rg(fog) 05-04-08 à 15:53

Ah oui, je me trompais sur ce point, c'est l'usage fréquent de cette écriture qui m'a fait faire cette erreur. Merci pour cette correction.

Posté par
Pece
re : rg(fog) 05-04-08 à 20:00

Es-tu sûr que f et g ne sont pas des endomorphismes ?
Dans ce cas, il suffit de montrer \rm Im(fog)\subset Im(f) et \rm Im(fog)\subset Im(g).

Si tes applictions ne sont que linéaires, alors il faut montrer la même chose sans oublier de montrer \rm Im(g)\subset G avant la deuxième inclusion, de façon à ne pas écrire d'absurdité.

Posté par
soucou
re : rg(fog) 06-04-08 à 08:18

Je crois d'ailleurs que cette inégalité porte le nom d'inégalité de Sylvester.

Posté par
comlich
re : rg(fog) 18-04-09 à 14:36

ups

Posté par
comlich
re : rg(fog) 18-04-09 à 14:36

Bonjour à tous. Un an après j'ai toujours pas fini de répondre à ma question.
Dans le cas où f et g sont des endomorphismes, j'établis sans souci que Im(fog)Im(f) mais j'ai du mal à montrer Im(fog)Im(g) , ça marche si f et g commutent mais c'est pas le cas ici. Un indication s'il vous plaît.
Merci d'avance

Posté par
Thallo
re : rg(fog) 18-04-09 à 19:12

Il n'y a pas de raisons que Im(fog) soit inclus dans Im(g) !
Par contre si tu prends f restreint à Im(g) et le théorème du rang, que peux-tu dire ?



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