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S4/B4 isomorphe à S3, 1er théorème d'isomorphisme
Salut !
Tout est dans le titre, comment montrer que S4/B4 (où B4 est le groupe de Klein) est isomorphe à S3 ?
Dans mon cours, on fait agir S4 sur B4\{Id} par conjugaison, ce qui induit un morphisme f de S4 sur S3. On trouve alors que B4 est inclus dans le noyau de f. Et là, on utilise le 1er théorème d'isomorphisme pour dire qu'il existe un morphisme entre S4/B4 et S3. On montre alors qu'il est injectif et on conclut par un argument de cardinalité.
Cependant, pour moi, le 1er théorème d'isomorphisme dit que si on a un morphisme f:G->H, alors il existe un unique morphisme entre G/Kerf et H (ce morphisme est-il injectif d'ailleurs ? ce sera ma question 1). Mais peut-on généraliser ce théorème en remplacant "Kerf" par "un groupe inclus dans Kerf" dans la phrase en italique ? (c'est ma question 2)
Merci d'avance 
Salut Florent, et bonne année
on l'a vu l'année dernière sous sa forme générale donc oui pour la question 2.
pour la question 1) c'est oui aussi, et il me semble qu'on a même g:G/K --> H est induit un morphisme injectif ssi K=ker g (à vérifier).
Ceci dit je viens de ressortir mes vieux poly et l'an dernier il me semble pas qu'on ait vu la version dont tu parles !
On a même vu la version suivante :
si on a un morphisme f:G->G' alors G/Ker(f) est isomorphe à Im(f).
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