Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour les questions 4 et 5 de l'exercice suivant:
Soit fn : définie pour tout n * par fn(x) = .
1) Montrer que la série de fonctions converge simplement sur .
Pour x , on pose f(x) = fn(x).
2) La série de fonctions converge-t-elle normalement sur ?
3) Soit a > 0. La série de fonctions converge-t-elle normalement sur [-a,a] ?
4) Montrer que f est continue sur.
5) Montrer que f est dérivable sur.
Salut etniopal,
En 3, j'ai trouvé que pour tout a >0, la série de fonctions converge normalement sur [-a,a] .
Salut,
Oui, désolé , il y a une erreur dans l' énoncé que j'ai écris.
l'énoncé d'origine est:
3) Soit a > 0. La série de fonctions fn converge-t-elle normalement sur [-a,a] ?
Bonjour,
En 3), j'ai répondu:
Pour tout a > 0. La série de fonctions converge normalement sur [-a,a] .
Merci de m'avoir signalé le problème d'énoncé de la question 3.
Pouvez-vous maintenant m'aider pour les questions 4 et 5 ?
converge normalement sur tout intervalle [-a, a] donc y est continue ...
il suffit de faire tendre a vers +oo ...
Salut carpediem,
Pour montrer que f est continue sur :
La série de fonctions fn converge normalement donc uniformément sur tout intervalle [-a, a] pour tout a >0 donc pour a + sur , donc f est continue sur .
Bonjour,
Ma réponse à la question 4 est-elle juste ?
Pour la question 5, merci de m'indiquer le théorème à utiliser car je ne le trouve pas dans mon polycopié de cours.
oui ça me semble bon ... peut-être mal rédigé (et encore) ...
dérivée d'une série de fonction : il suffit que la série des dérivées converge uniformément pour que la série de fonctions soit dérivable (il me semble) ...
Pour la question 5, j'ai trouvé le théorème suivant:
La somme d'une série de fonctions définie sur un intervalle est dérivable dès que chaque terme l'est et que la série des dérivées est uniformément convergente (et que la série originale converge, au moins en un point).
J'envisage de montrer que les 3 conditions d'application de ce théorème sont satisfaites.
Ceci est-il un bon point de départ pour montrer que f est dérivable en ?
ça me semble un bon point de départ de suivre un théorème qui dit comment faire pour obtenir le résultat ...
Puisque d'après la question 1, on a convergence simple sur tout , donc on a convergence simple au moins en un point de.
D'autre part chaque terme de la série est dérivable car la dérivée de fn (x) existe:
En effet : fn(x) = x²/ (n²+x²) donne après calcul f'n(x) = n²/(n²+x²)².
Si c'est juste, il reste à prouver la convergence uniforme de la série des dérivées f'n.
Est-ce juste pour l'instant ?
Le tableau de variations de f'n(x) donne sup |f'n| sur = 1/n², donc la série f'n converge normalement sur .
Comme les 3 conditions d'application du théorème ci-dessus sont satisfaites, on peut en déduire que f est dérivable sur .
Bonjour,
Merci à carpediem pour son aide.
Je reviens sur les questions 4 et 5 de l'exercice:
Pour la question 5, n'ayant pas de réponse, je considère que ma résolution est correcte.
Pour la question 4, je n'ai pas tout à fait compris le raisonnement de carpediem.
Suffit-il de citer un théorème ou faut-il fournir une justification détaillée et laquelle ?
5/ oui ...
quand on veut citer un théorème il faut justifier ou démontrer ses hypothèses puis ensuite on peut l'appliquer ...
la série converge normalement donc uniformément sur tout intervalle [-a, a]
elle y est donc continue ...
pour tout réel x l'intervalle I = [-1 - |x|, |x| + 1] contient x et la série y est continue donc elle est continue en ce x ...
et on peut tenir ce raisonnement pour tout x ...
Peut-on pour autant en déduire que f est continue sur alors que est une union d'intervalles ouverts ?
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