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Niveau Licence Maths 1e ann
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Série de fonctions

Posté par
scoatarin
26-07-16 à 16:08

Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour les  questions 4 et 5  de l'exercice suivant:

Soit fn :   définie pour tout n * par  fn(x) = \dfrac {x²} {n²+x²}.

1) Montrer que la série de fonctions  \sum_{n>=1}f(n)  converge simplement sur .

Pour x ,  on pose f(x)  =  \sum_{n=1}^{\infty}     fn(x).

2) La série  de fonctions \sum_{n>=1}f(n)  converge-t-elle normalement sur ?

3) Soit a > 0.  La série  de fonctions \sum_{n>=1}f(n)  converge-t-elle normalement sur [-a,a] ?

4) Montrer que f est continue sur.

5) Montrer que f est dérivable sur.

Posté par
etniopal
re : Série de fonctions 26-07-16 à 16:57

Qu'as-tu trouvé en 3 ?

Posté par
scoatarin
re : Série de fonctions 26-07-16 à 17:30

Salut etniopal,

En 3,  j'ai trouvé que pour tout a >0,  la série  de fonctions \sum_{n>=1}f(n)  converge normalement sur [-a,a] .

Posté par
carpediem
re : Série de fonctions 26-07-16 à 19:44

salut

es-tu sur de ton énoncé ? (confusion entre n et x ...)

Posté par
scoatarin
re : Série de fonctions 26-07-16 à 20:21

Salut,

Oui, désolé , il y a une erreur dans l' énoncé que j'ai écris.

l'énoncé d'origine est:

3) Soit a > 0.  La série  de fonctions \sum_{n>=1} fn  converge-t-elle normalement sur [-a,a] ?

Posté par
scoatarin
re : Série de fonctions 27-07-16 à 07:56

Bonjour,

En 3),  j'ai répondu:

Pour tout a > 0.  La série  de fonctions \sum_{n>=1} fn   converge normalement sur [-a,a] .

Merci de m'avoir signalé  le problème d'énoncé de la question 3.

Pouvez-vous maintenant m'aider pour les questions 4 et 5 ?

Posté par
carpediem
re : Série de fonctions 27-07-16 à 12:14

\sum f_n(x) converge normalement sur tout intervalle [-a, a] donc y est continue ...

il suffit de faire tendre a vers +oo ...

Posté par
carpediem
re : Série de fonctions 27-07-16 à 12:14

pour la dérivée tu dois avoir un théorème ...

Posté par
scoatarin
re : Série de fonctions 27-07-16 à 14:21

Salut carpediem,

Pour montrer que  f est continue sur :  

La série de fonctions fn converge normalement donc uniformément sur tout intervalle [-a, a] pour tout a >0 donc pour a + sur , donc  f est continue sur .

Posté par
scoatarin
re : Série de fonctions 28-07-16 à 08:19

Bonjour,

Ma réponse à la question 4 est-elle juste ?

Pour la question 5, merci de m'indiquer le théorème à utiliser car je ne le trouve pas dans mon polycopié de cours.

Posté par
carpediem
re : Série de fonctions 28-07-16 à 12:18

oui ça me semble bon ... peut-être mal rédigé (et encore) ...

dérivée d'une série de fonction : il suffit que la série des dérivées converge uniformément pour que la série de fonctions soit dérivable (il me semble) ...

Posté par
scoatarin
re : Série de fonctions 28-07-16 à 14:14

Pour la question 5, j'ai trouvé le théorème suivant:

La somme d'une série de fonctions définie sur un intervalle est dérivable dès que chaque terme l'est et que la série des dérivées est uniformément convergente (et que la série originale converge, au moins en un point).

J'envisage de montrer que les 3 conditions d'application de  ce théorème sont satisfaites.

Ceci est-il un bon point de départ pour montrer que f est dérivable en ?  

Posté par
carpediem
re : Série de fonctions 28-07-16 à 16:26

ça me semble un bon point de départ de suivre un théorème qui dit comment faire pour obtenir le résultat ...

Posté par
scoatarin
re : Série de fonctions 28-07-16 à 20:17

Puisque d'après la question 1, on a convergence simple sur tout , donc  on a convergence simple au moins en un point de.

D'autre part chaque terme de la série est dérivable car la dérivée de  fn (x) existe:

En effet : fn(x) = x²/ (n²+x²)  donne après calcul  f'n(x) = n²/(n²+x²)².

Si c'est juste, il reste à prouver la convergence uniforme de la série des dérivées f'n.

Est-ce juste pour l'instant ?

Posté par
carpediem
re : Série de fonctions 28-07-16 à 20:32

oui ... mais bon faut prendre confiance en toi et aller jusqu'au bout ...

Posté par
scoatarin
re : Série de fonctions 28-07-16 à 21:06

Le tableau de variations de f'n(x) donne  sup |f'n| sur = 1/n², donc la série f'n converge normalement sur .

Comme  les 3 conditions d'application du théorème ci-dessus sont satisfaites, on peut en déduire que f est dérivable sur .

Posté par
scoatarin
re : Série de fonctions 01-08-16 à 10:06

Bonjour,

Merci à  carpediem pour son aide.

Je reviens sur les questions 4 et 5 de l'exercice:

Pour la question 5, n'ayant pas de réponse, je considère  que ma résolution est correcte.

Pour la question 4, je n'ai pas tout à fait compris le raisonnement de carpediem.
Suffit-il de citer un théorème ou faut-il fournir une justification détaillée et laquelle ?  

Posté par
carpediem
re : Série de fonctions 01-08-16 à 12:54

5/ oui ...

quand on veut citer un théorème il faut justifier ou démontrer ses hypothèses puis ensuite on peut l'appliquer ...

la série converge normalement donc uniformément sur tout intervalle [-a, a]

elle y est donc continue ...

pour tout réel x l'intervalle  I = [-1 - |x|, |x| + 1] contient x et la série y est continue donc elle est continue en ce x ...

et on peut tenir ce raisonnement pour tout x ...

Posté par
scoatarin
re : Série de fonctions 01-08-16 à 13:27

Peut-on pour autant en déduire que f est continue sur alors que est une union d'intervalles ouverts ?

Posté par
carpediem
re : Série de fonctions 01-08-16 à 19:00

c'est aussi une union d'intervalles fermés ....

Posté par
scoatarin
re : Série de fonctions 01-08-16 à 19:09

Dans ce cas, tout va bien. Ce problème me semble clos.

Merci beaucoup et bonne soirée

Posté par
carpediem
re : Série de fonctions 01-08-16 à 19:10

merci et à toi aussi



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