Bonjour, je suis en train de faire un exercice dont le but est de prouver que An est simple si n est sup ou égale à 5. J'ai tout compris à 0.01% près, mais je pense qu'il peut être important ce 0.01% donc j'aimerais un coup de main.
Soit H un sous groupe distingué de An qui n'ets pas l'identité. Donc il existe s dans H différent de id. On choisit x dans {1,...,n} tel qu y=s(x) ne soit pas x, et z dans E mais qui n'ets ni x, ni y, ni s(y). On considère le 3 cycle (x z y) et r le commutateur [s,c]. J'ai réussi à montrer que r est dans H, que ce n'est pas l'identité et qu'il laisse fixe au moins n-5 éléments.
2ème étape, la décomposition en cycles disjoints de r est un des trois trucs suivants :
r1=(i j k)
r2=(i j k l m)
r3=(i j) (k l)
Jusque là, facile.
Maintenant on prend t=(a b) une transposition, on a le commutateur [t,r] qui vaut (a b)(t(a) t(b)). Et pour les trois possibilités pour r on montre qu'on peut choisir a et b de telle sorte que (t(a) t(b))=(b c) avec c différent de a et b, et on obtient que notre commutateur [t,r] est le 3-cycle (a b c). Je suis toujours d'accord.

Voilà mon problème, ils en concluent qu'alors H contient un 3-cycle. Pourquoi? [t,r] est dans H ? Mais une transposition ce n'est pas dans An...
Merci d'avance!