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Simplifier une expression polynomiale

Posté par
alainpaul
27-06-14 à 17:50

Bon après-midi,

Je m'intéresse ici à la simplification d'expressions polynomiales
homogènes ;les logiciels dédiés mathlab, mapple ... proposent une fonction
'factor' celle-ci échoue lorsqu'il y a plus d'un produit de facteurs.


Afin de préciser je donne un exemple ,un polynôme homogène de degré 2:
P(a,b,c,d)=ab+ac-2ad+bc-2bd-2cd+3d^2
que je souhaite écrire sous une forme plus simple,exemples:

uv,uv+wt,uv-t^2


Comment procéderiez-vous?


Alain

Posté par
Gammat
re : Simplifier une expression polynomiale 28-06-14 à 13:24

mettre sous forme de tableau:

abcd
a11-2
b1-2
c-2
d3



ensuite tu peux factoriser les éléments ( un peu comme quand on travaille avec un tableau de Carnot).
par exemple les -2 représentent -2d(a+b+c)
si on y ajoute les 2 "1" de la colonne c,
on peut écrire (a+b+c)(c-2d)-c²


donc sur ton exemple: on peut écrire:
ab+(a+b+c)(c-2d)-c²+3d²
ou
(b+c-2d)(a+b)-b²-2cd+3d²

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Simplifier une expression polynomiale 12-07-14 à 18:09

Citation :
( un peu comme quand on travaille avec un tableau de Carnot).


Karnaugh et pas Carnot, je présume.

Posté par
alainpaul
re : Simplifier une expression polynomiale 16-07-14 à 14:23

Bonjour,


Je reviens de vacances.

Ce qui est attendu ici ce sont des expressions de la forme
AB+CD ,A,B,C,D polynômes du premier degré en a,b,c ou d


Exemple:
P(a,b,c,d)=(a+c-2d)\times (a+b-2d)-(a-d)^2

Comment déduire toutes les solutions?

Il est donc nécessaire de définir quand deux solutions sont
équivalentes,


Amicalement,

Alain

Posté par
Gammat
re : Simplifier une expression polynomiale 05-08-14 à 12:13

Citation :
Karnaugh et pas Carnot, je présume.

OUI !

je ne crois pas que des expressions de la forme AB+CD existent dans le cas général.(imagine que je remplisse mon tableau avec des nombres premiers distincts...)
On remarquer que dans ta solution :
(a+c-2d) ainsi que (a+b-2d) sont des dérivées partielles de P.

L'écriture qui existe à coup sûr est :
p=a.f(a,b,c,d)+b.g(b,c,d)+c.h(c,d)+d.u(d)

Posté par
alainpaul
re : Simplifier une expression polynomiale 05-08-14 à 15:25

Bonjour,


C'est le genre de piste que je souhaite suivre.


Lorsque,par exemple, 'a' ne figure qu'au 1 er degré

P(a,b,c,d)=P'_a(a,b,c,d)\times(a+Q(b,c,d)+R(b,c,d)
Q,R des polynômes.

Il est aussi possible de rechercher des polynômes particuliers,
exemple:p(a,d,c,d) ,p(d,d,c,d). et des diviseurs.
P(a,b,c,d)=ac-ad-dc+d^2=...

Recherche possible de symétries:
P(a,b,c,d)= P(b,a,c,d) = P(c,b,a,d) ,
pour multiplier les solutions.



Alain

Posté par
Gammat
re : Simplifier une expression polynomiale 07-08-14 à 12:52

si tu veux une méthode systématique ( méthode bourrin ):
c'est facile avec un ordinateur:

par exemple pour la forme AB+CD :
on peut raisonnablement faire l'hypothèse que pour chaque terme de la somme, on traite une variable:
tq  AB dépend de a,b,c,d et CD dépend de b,c,d

A=x1.a +x2.b+x3.c+x4.d
....

tu développes AB+CD
tu identifies ensuite avec un système d'équations.....
une peu lourd mais simple non?

Posté par
alainpaul
re : Simplifier une expression polynomiale 07-08-14 à 17:29

Oui,

C'est possible.

Jem'oriente plutôt vers l'étude de P(a,b,c,d)

degrés de a,b,c,d .

symétries entre variables de même degré:p(a,b,c,d)-p(b,a,c,d) ,p(a,b,c,d)-p(c,b,a,d)...
factorisation de polynômes 'dérivés' p(a,d,c,d), p(d,d,c,d) ...



Alain



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