Bonjour med112

Notons e1,e2,e3,e4,e5 les 5 vecteurs écrits.

Tu peux commencer par dire que E est aussi engendré par e1,e2/2 et e3/2, que je rebaptise e'1,e'2,e'3.

Comme e'3 = e'1 - e'2, la famille est liée donc E est de dimension inférieure ou égale à 2.

Or e'1 et e'3 par exemple sont linéairement indépendants, donc dim(E) = 2.

Il n'y a plus qu'à s'assurer que la famille {e4,e5} est une base de F (trivial), et que {e'1,e'3,e4,e5} est libre :

c'est donc une base de E + F, qui est ainsi de dimension 4.

Je te laisse conclure!

Merci Tigweg !! Je vais essayer de m'entrainer avec ta méthode dans d'autres cas . A bientôt j'espère !

Avec plaisir med! Vérifie mon résultat quand même, on n'est jamais à l'abri d'une erreur de calcul!

A bientôt sans doute!

Salut tout le monde . Encore merci pour ton aide Tigweg , le seul petit problème est ta première relation avec e'3 . Mais j'essaie de trouver une autre relation entre e1 , e2 et e3 . Tu crois qu'il y a un autre moyen que celui-ci ?

Salut med, je t'en prie!

Mais qu'est-ce qui te dérange dans ma première relation?

e'3 = (0,1,2,2) ok?

e'1 = (1,2,3,4)

e'2 = (1,1,1,3) ok?

Donc e'3 est bien égal à e'1 - e'2!

Ah non!! Je suis désolé, je viens de me rendre compte (en postant!!) qu'il y avait un problème!

Je regarde à nouveau ça!

OK, j'ai dit une bêtise, e1, e2, e3 sont linéairement indépendants!

E = Vect(e'1, e'2, e'3) et (e'1,e'2,e'3) en est une base.

F = Vect(e4,e5) et (e4,e5) en est une base.

On s'aperçoit que e4 appartient à E car, dans la base de départ, det(e'1,e'2,e'3,e4) = 0

En revanche, e5 n'est pas dans E car le déterminant correspondant est non nul.

Conclusion: la famille (e'1,e'2,e'3,e5) est une famille libre de E+F (déterminant non nul comme je viens de le dire) et génératrice (car e4 est dans l'espace engendré par les 3 premiers vecteurs, et car e'1,e'2,e'3,e4,e5) engendre E+F comme réunion de familles engendrant respectivement E et F) : c'en est donc une base!

Tout simplement merveilleux Tigweg !! Tu as réussi à corriger ton erreur , j'espère que j'aurai un niveau qui s'approche du tien .
PS:Si jamais tu trouves un raisonnement sans le déterminant , j'aimerai beaucoup avoir quelques pistes (ne te fatigues pas à tout me donner) - je sais que je suis chiant mais je voudrai réussir une "version" en accord avec mon cours actuel qui n'a pas établit généralement le déterminant .

Lol je t'en prie!

Pourquoi, vous n'avez pas vu le déterminant?

Bon sinon, tu peux chercher des coefficients a,b,c tels que e4 = ae'1 + be'2 + ce'3.

De même, tu peux montrer qu'il est impossible de trouver de tels coefficients pour e5!

Mais bon c'est beaucoup plus long!

Ok ! Merci pour ta précieuse aide Tigweg !

Avec plaisir med112!