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Niveau Licence Maths 1e ann
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somme et combinaisons

Posté par
chookie
18-09-09 à 14:12

Bonjour, Pouvez m'aider à cet exercice car nous avons à la faire mais en cours nous n'avons jamais fait de tel exercice.

Enoncé :

Démontrer les égalités suivantes : Toutes les sommes vont de k=0 à n.

1) de la combinaison (n k ) = 2^n            

2) (-1)^k * combinaison ( n k ) =0          

3) combinaison (2n 2k) = 2^(n-1)

4)2^k * combinaison ( n k)= 3^n

5) 2^(3k)3^(n-2k) * combinaison (n k) = (17/3)^n

6) 2^(3k-1)* combinaison (n k) = 9^n /2

7) i^k * combinaison ( n k) = 2^(n/2)e^(n i /4)

8) 3^(k/2) i^(k) * combinaison (n k) = 2^n e^(ni/3)

Mes idées sont :

pour les premières j'ai essayé de mettre les combinaisons sous la forme de factorielle mais cela n'a pas marche puis j'ai essayé des raisonnement par récurrence mais notre prof nous a dit d'éviter de les utiliser, du coup je suis bloquer.
J'avais une idée pour la 3) qui était d'ajouter les deux égalité précédentes mais cela n'a rien donné.

Merci par avance,

Posté par
olive_68
re : somme et combinaisons 18-09-09 à 14:17

Salut

A mon avis c'est un peu basé sur le même principe tout au long de l'exo,

Formule du binôme : 3$(a+b)^n=\Bigsum_{k=0}^n \ \(n \\ k\) a^{n-k}b^k

Par exemple dans le premier cas tu as 3$a=b=1 d'où la réponse 3$2^n

Posté par
Camélia Correcteur
re : somme et combinaisons 18-09-09 à 14:19

Bonjour

Pour la première rappelle-toi que C_n^k est le nombre de parties à k éléments d'un ensemble ayant k éléments. En jrttant un coup d'oeil aux suivantes, pense aussi à la formule du binôme de Newton!

Posté par
Camélia Correcteur
re : somme et combinaisons 18-09-09 à 14:20

Salut olive; c'est probablement la solution attendue...

Posté par
olive_68
re : somme et combinaisons 18-09-09 à 14:20

Bonjour Camélia

Posté par
olive_68
re : somme et combinaisons 18-09-09 à 14:21



Et bienvenue sur l' chookie

Posté par
esta-fette
re : somme et combinaisons 18-09-09 à 14:37

L'exercice est basé sur la formule du binome.....

et sur les probabilités:


(1+X)^n=(1+X) (1+X) ...(1+X).....(1+X)

si on développe, on obtient un polynome de degré n
on imagine qu'on est assez fort pour faire ce développement d'un seul coup

et le coefficient en X^k est obtenu comment?

simplement en choissant k parenthèses parmi les n où on prend X et dans les n-k autres on choisit 1
c'est à dire qu'on a

4$\(^n_k\) X^k

on ajoute tous ces coeficients et on a:

4$ (1+X)^n= \sum_{k=0} ^n \ \(^n_k\) X^k

si on remplace X par des nombres; on obtient beaucoup de résultats.

Posté par
esta-fette
re : somme et combinaisons 18-09-09 à 14:50

pour la 3), il y a erreur d'énoncé: la réponse me semble

4$ 2^{2n-1}
pour les autres (sauf les 7 et 8) sont bonnes...

la 7 et la 8 me semblent bizarre, mais je ne les ai pas vérifiées

Posté par
Camélia Correcteur
re : somme et combinaisons 18-09-09 à 14:57

Bonjour esta-fette

Pour 3) tu as raison

7) vient de (i+1)^n et 8) de (1+i\sqrt 3)^n mais je ne les ai pas vérifiés!

Posté par
Socratis
re : somme et combinaisons 15-10-19 à 02:45

Puis je avoir une rédaction complète de la démonstration 3 sans passer par récurrence.

Posté par
jsvdb
re : somme et combinaisons 15-10-19 à 09:20

Salut Socratis.
C'est difficile de ne pas passer par une récurrence dans la mesure où le triangle de Pascal est fabriqué par récurrence.
Tu peux toujours écrire :

\large \blue 2^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{2k}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n}{2k+1}

Mais après, il faut montrer que

\large \blue \sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{2k}=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n}{2k-1}

Et ça se fait par récurrence.

Posté par
veleda
re : somme et combinaisons 15-10-19 à 10:38

bonjour
(1+1)n+(1-1)n=2n

tu développes par la formule du binome



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