Bonjour, Pouvez m'aider à cet exercice car nous avons à la faire mais en cours nous n'avons jamais fait de tel exercice.
Enoncé :
Démontrer les égalités suivantes : Toutes les sommes vont de k=0 à n.
1) de la combinaison (n k ) = 2^n
2) (-1)^k * combinaison ( n k ) =0
3) combinaison (2n 2k) = 2^(n-1)
4)2^k * combinaison ( n k)= 3^n
5) 2^(3k)3^(n-2k) * combinaison (n k) = (17/3)^n
6) 2^(3k-1)* combinaison (n k) = 9^n /2
7) i^k * combinaison ( n k) = 2^(n/2)e^(n i /4)
8) 3^(k/2) i^(k) * combinaison (n k) = 2^n e^(ni/3)
Mes idées sont :
pour les premières j'ai essayé de mettre les combinaisons sous la forme de factorielle mais cela n'a pas marche puis j'ai essayé des raisonnement par récurrence mais notre prof nous a dit d'éviter de les utiliser, du coup je suis bloquer.
J'avais une idée pour la 3) qui était d'ajouter les deux égalité précédentes mais cela n'a rien donné.
Merci par avance,
Salut
A mon avis c'est un peu basé sur le même principe tout au long de l'exo,
Formule du binôme :
Par exemple dans le premier cas tu as d'où la réponse
Bonjour
Pour la première rappelle-toi que est le nombre de parties à k éléments d'un ensemble ayant k éléments. En jrttant un coup d'oeil aux suivantes, pense aussi à la formule du binôme de Newton!
L'exercice est basé sur la formule du binome.....
et sur les probabilités:
si on développe, on obtient un polynome de degré n
on imagine qu'on est assez fort pour faire ce développement d'un seul coup
et le coefficient en est obtenu comment?
simplement en choissant k parenthèses parmi les n où on prend X et dans les n-k autres on choisit 1
c'est à dire qu'on a
on ajoute tous ces coeficients et on a:
si on remplace X par des nombres; on obtient beaucoup de résultats.
pour la 3), il y a erreur d'énoncé: la réponse me semble
pour les autres (sauf les 7 et 8) sont bonnes...
la 7 et la 8 me semblent bizarre, mais je ne les ai pas vérifiées
Salut Socratis.
C'est difficile de ne pas passer par une récurrence dans la mesure où le triangle de Pascal est fabriqué par récurrence.
Tu peux toujours écrire :
Mais après, il faut montrer que
Et ça se fait par récurrence.
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