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Niveau Maths sup
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sommes de termes

Posté par
kairouan
17-01-09 à 13:37

bonjour à tous et à toutes

quelqu'un pourrait il me filer un petit coup de pouce pour calculer cette somme :
p
(-1)k ( 2k n )
k=0

merci beucoup

je pense qu'on peut y arriver avec la formule du binome de newton
            n
(a+b)n= ( k n )akb n-k
            k=0

mais je reste coicé...

Posté par
Nightmare
re : sommes de termes 17-01-09 à 13:53

Salut !

Qu'est-ce que p ?

Sinon, essaye de considérer la somme avec 3$\rm \(n\\2k+1\)

Posté par
kairouan
re : sommes de termes 17-01-09 à 13:54

p c'est ici la partie entière de (n/2)

Posté par
kairouan
re : sommes de termes 17-01-09 à 13:56

c'est à dire que je regarde ce que devient la formle du binome avec(n2k+1) ?

Posté par
Nightmare
re : sommes de termes 17-01-09 à 13:59

Non,

On note 3$\rm X=\Bigsum_{k=0}^{p} (-1)^{k}C_{n}^{2k} et 3$\rm Y=\Bigsum_{k=0}^{p} (-1)^{k}C_{n}^{2k+1}

Que valent X+Y et X-Y ? Conclus.

Posté par
kairouan
re : sommes de termes 17-01-09 à 13:59

le (-1)k me faisait penser à an + bn et la somme égale pour n impair.... c'est une mauvaise piste ?

Posté par
kairouan
re : sommes de termes 17-01-09 à 14:04

2 minutes...je cogite..

Posté par
kairouan
re : sommes de termes 17-01-09 à 14:18

alors pour le premier je trouve :
      
X + Y = somme de k=0 jusqu'à p de (-1)k(2k+1n+1) c'est ça ?

Posté par
kairouan
re : sommes de termes 17-01-09 à 14:47

pour le deuxième j'ai un problème quand je regroupe mes combinaisons : je devrais trouver un truc qui resemble à ce que je cherche ou bien qui est nul ? non ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : sommes de termes 17-01-09 à 19:45

Bonjour ;

Pour n\in\mathbb{N} notons 4$\fbox{S_n=\Bigsum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}(-1)^kC_{n}^{2k}} , 2$\fbox{S_0=1}

Pour n\ge1 et z\in\mathbb{C} on a 3$\fbox{(1+z)^n=\Bigsum_{k=0}^{n}C_n^kz^k=\Bigsum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{n}^{2k}z^{2k}+\Bigsum_{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}C_{n}^{2k+1}z^{2k+1}}

et en prenant z=i on voit que 4$\fbox{(1+i)^n=S_n+i\Bigsum_{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}(-1)^kC_{n}^{2k+1}}

d'où 4$\blue\fbox{S_n=\scr Re\left((1+i)^n\right)=2^{\frac{n}{2}}cos(\frac{n\pi}{4})} sauf erreur bien entendu

Posté par
kairouan
re : sommes de termes 18-01-09 à 11:33

j'enrage de ne pas m'être aperçue plus tôt que tu avais répondu,elhor_abdelali, ceci pour pouvoir te remercier.
je pense que ce sont le (-1) et le fait que "i" est "bi-cyclique"  qui t'ont fait penser à décomposer la some rechercher en utilisant (1+i)n. dis moi si je me trompe
merci encore

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : sommes de termes 18-01-09 à 11:50

C'est effectivement ça ! Oui



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