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Sous-espaces vectoriels et parties de R
Bonjour la compagnie matheuse ! Voici un autre problème d'algèbre que j'ai sur les bras :
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels du 
espace vectoriel des fonctions de dans noté E :
1)Ensemble des fonctions f
E telles que 
n
, f(n)=0
2)Ensemble des fonctions fE de classe telles que
x , f'''(x)+f''(x)+xf(x)=0
Bon courage !
Bonsoir. 
Quelles sont les propriétés à vérifier pour montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel ?
Bonjour med!
Les deux sont clairement des sous-espaces vectoriels, par exemple pour le premier:
* L'application nulle vérifie la condition imposée
* Si f vérifie cette condition, alors k.f aussi, et ce pour tout scalaire k
* Si f et g la vérifient, leur somme aussi puisque pour tout n, (f + g)(n) = f(n) + g(n) = 0.
Je te laisse rédiger le tout correctement. 
Bonsoir.
Dans chacun des deux cas, applique la condition :
F sous-espace de E 
1°) F non vide
2°) Pour tout couple (f,g) de F² et pour tout couple (a,b) de IR², a.f + b.g est dans F.
Bonjour,
Au passage il y a une autre façon de voir les choses (disons plus dynamique alors que celle ci est un peu statique).
Dans le premier cas ton ensembles est l'intersection de E_n qui sont l'ensemble des f tels que f(n)=0, et les E_n sont des noyaux de formes linéaires. Pareil dans le second cas ton ensemble est le noyau d'une application linéaire.
Merci beaucoup Arkhnor , Tigweg et raymond ! Ta méthode est intéressante Rodrigo , mais je n'arrive pas à trouver les applications linéaires concernées . Pourrais-tu m'aider ? (Pour le premier , est-ce que c'est l'apllication qui associe f(n) à toutes fonctions de E ?)
C'est l'application F_n qui à f associe f(n) on s'interesse à son noyau. L'intersection de des ker F_n est precisement l'ensemble que tu cherches?
Pour ta dernière question med, il suffit de considérer l'application linéaire du sev C^3 de E dans E, qui à f associe f'''+f''+xf .
Son noyau est l'ensemble recherché, et c'est un sev du sev C^3, donc un sev de E.
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