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Niveau Maths sup
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Sous espasce vectoriel

Posté par
romu69
25-03-09 à 20:50

Bonjour, Pouvez vous m'aidez sur cet exercice?

Soit A=X4-1 et B=X4-X
Pour tout P3[X], on pose f(P)=le reste de la dvision euclidienne de AP par B

j'ai montrer que f était un endomorphisme
je dois maintenant montrer que Ker(f)=Vect(X+X2+X3)


le reste est de degré inférieur à celui de B donc deg(R(x))3
Soit L(X)=Ker f
alors le reste de la division de AxL par B est égale à 0
donc AxP=BQ P(X4 -1)=Q(X4-X)
mais je n'arrive pas à trouver une combinaison de X+X2+X3

Posté par
Drysss
re : Sous espasce vectoriel 25-03-09 à 21:08

P(X^3+X^2+X+1)=Q(X^3+X^2+X)

P=(Q-P)(X^3+X^2+X)

Reste plus qu'à montrer que Q-P est un scalaire. La solution la plus simple étant de poser P=aX^3+bX^2+cX+d et Q=eX^3+fX^2+gX+h et en identifiant, montrer que les coefficients non constants sont les mêmes. Doit y avoir plus astucieux mais j'ai la flemme.

Donc P appartient au vect.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Sous espasce vectoriel 25-03-09 à 21:34

3$\fbox{X^4-X\;|\;(X^4-1)P} s'écrit aussi en simplifiant par X-1 , 3$\fbox{X(X^2+X+1)\;|\;(X+1)(X^2+1)P}

et comme 3$X(X^2+X+1) et premier avec 3$(X+1)(X^2+1) car sans racine commune dans 3$\mathbb{C}[X]

on voit (Gauss) que 3$\fbox{P\in Kerf\;\Longleftrightarrow\;X^3+X^2+X\;|\;P}

et comme 3$P\in\mathbb{C}_3[X] on conclut sauf erreur bien entendu

Posté par
amauryxiv2
re : Sous espasce vectoriel 25-03-09 à 22:26

si tu montre queque dim(ker(f)) = 1 (ca peut se faire en montrant que dim(Im(f)) = 3, il te suffira de prouver que f(X3+X2+X) = 0

Posté par
romu69
re : Sous espasce vectoriel 26-03-09 à 18:24

merci à tous pour vos réponses



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