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Sous group additif de R
bonjour a tous !
j'ai longuement parcourus le forum, j'ai trouvé pas mal de réponse, mais il y a toujours des questions de mon exo que je n'arrive pas a résoudre !
voici l'énoncé :
Exercice 2.2
Soit E un sous-ensemble de R. On dit que E est dense dans R ssi :
quelque soit a; b 
R; a < b 
) 
x E; a < x < b
Soit G un sous-groupe de (R; +) et G¤+ = G \ R¤+.
1. Montrer que si G 
{0}, alors G¤+ 
;.
2. Soit m = inf(G¤+).
(a) Montrer que si m 6= 0 alors G = mZ.
(b) Montrer que si m = 0 alors G est dense dans R. Donner un exemple montrant que ce cas est
possible.
3. Soient a; b R. Montrer que aZ+bZ := {am+bnjm; n Z} est un sous-groupe de (R; +). A quelle
condition sur a et b ce sous-groupe est-il dense dans R?
4. Soit H un sous-groupe de (Z; +). Montrer qu'il existe n 2 N tel que H = nZ.
5. Soit K un sous-groupe de (S1;x). Montrer que : soit K = S1, soit il existe n 2 N¤ tel que K
soit l'ensemble des racines n-µemes de l'unit¶e, soit K est dense dans S1 (on d¶e¯nira cette notion de
densit¶e en s'inspirant de l'¶enonc¶e).
donc les question 2 et 4 j'ai réussi, la 1 a mon avis il suffit de dire que comme G du singleton 0 et que comme G est un sous groupe de (R,+) alors G*+ admet au moins un élément, donc G !
par contre la 3 et la 5 je n'ai vraiment aucune idée, est ce que vous pourriez me donner une(des) piste(s) ?
merci d'avance !
Salut 
1) Ok, G est non vide, il contient au moins 1 élément non nul. Pourquoi cet élément serait-il positif?
3. Arrives-tu déjà à montrer que c'est un sous groupe?
je ne peux pas éditer mon précédent post ??
au début il fallait lire :
Soit G un sous-groupe de (R; +) et G¤+ = G 
R¤+.
donc pour la 1, comme G¤+ = G R¤+. , G¤+ admet au moins un élément positif puisque G est l'intersection de G avec R+ !
et pour la 3 je n'ai vraiment pas d'idée, je ne vois pas de quoi il faut partir en fait
OUi mais qu'est-ce qui nous dit que cet intersection n'est pas vide?? Qu'est-ce qui nous dit que G a forcément un élément positif? c'est ça que je te demande!
ba l'intersection de G (qui est différent de ZERO) avec R+ *, a forcément au moins un élément puisque G est un sous groupe de (R,+) non ?
oui c'est bien (
R,+).
ba si je me trompe pas (R,+) est un groupe donc il a des éléments. Comme G est un sous groupe de il a aussi des éléments forcément ^^ et comme G{0}, l'intersection de G et +* est donc non vide !
après je sais pas je suis peut être complètement a coté de la plaque
Oui, tu ne dis pas ce que j'attends ...
Regarde, je prends l'intervalle , c'est un sous-ensemble de R, il a des éléments, et pourtant l'intersection avec R*+ est vide !!
a oui exact, mon raisonnement tombe a l'eau :S
et je vois pas trop pourquoi les éléments de G sont forcément positif du coup ...
La différence entre G et [-2,-1] est que G est un groupe !! Et qu'est-ce qu'on peut dire des éléments d'un groupe?
Oui et c'est ça qui est essentiel : Ils sont symétrisables !
Si ton groupe est non vide, il admet un élément. Cet élément est symétrisable. Ainsi si ton élément est négatif, son symétrique est positif et donc l'intersection avec R+* est quand même non vide.
ok ok merci beaucoup! je comprenais pas trop pourquoi les éléments de G étaient forcément positif, c'est parcequ'ils peuvent quand meme etre négatif, mais comme il y a la présence de l'inverse, ca change tout !
et pour les question 3 et 5 tu aurais pas une petite idée 
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