bonjour,
Salut !
((ne) faisant (pas) intervenir d'application)>> ce n'est vraiment pas une bonne idée ca : le quotient est un objet relativement abstrait qu'on ne maitrise formellement que via les applications défini dessus (en gros, un quotient que ca soit un groupe, un ensemble ou autre chose on ne sait pas vraiment ce que c'est, mais on sait ce qu'est une application défini dessus... )
mais faire d'emblée intervenir N: sous groupe distingué de G contenant H n'emmène rien (existence de N ?)>>> c'est effectivement, une bonne idée, et ton problème c'est juste que tu n'as pas fait la quesiton 1 avant (l'existence de N est justement le résultat qu'on prouver en 1... )
enfin...
1)si on note p:G->G/H la projection canonique, on à une bijection entre les sous groupes distinqué de G contenant H et les sous groupe de G/H donné par :
f : U -> p(U) (pour U sous groupe distinqué de G contenant H)
qui est une bijection car ca réciproque est :
g :V->p^(-1)(V)
(tous ce que tu as à vérifier c'est que g(f(U)) = U et f(g(U))=U, et que f et g envoi bien des groupes distingué sur des groupes distingué)
2) si on a p:G->G/N comme, H est contenue dans N = ker p, cette application ce factorise en p' :G/H -> G/N
p' est surjective car G->G/H->G/N l'est.
donc p' définie un isomorphisme entre (G/H)/(ker p') et G/N
or évidement ker p'= N/H, ce qui achève la preuve.
1) on peut structurer G/H de telle sorte que p soit un morphisme. dès lors le fait que p(U) est bien un groupe distingué de G/H est ok.
donc à partir d'un sous groupe distinqué de G/H, on peut lui faire correspondre un (unique) sous groupe distinqué de G contenant H, N.
2) a priori je t'ai suivi:
N=ker p car si p(x)=N alors xN=N donc x est dans N...
on factorise: p=p'oh où p' tq ...
p est surjective (par définition) donc p' aussi.
on refactorise p'=p''oh' où p''G/H)/Kerp' ---> G/N est un morphisme injectif donc un isomorphisme.
enfin kerp'=N:H car si p'(x)=N alors xH=N soit x ds N/H...
merci Ksilver
@
De rien !
"dès lors le fait que p(U) est bien un groupe distingué de G/H est ok." : fais tous de meme attention que ca marche (pour le fait qu'il est distingué) seulement parceque p est surjective. en général l'image pas un morphisme d'un ss groupe distingué n'est pas ditingué.
euh ...est un sous groupe de G/H tu veux dire !
(et puis tu n'as pas vraiment bessoin de considérer la restriction de p à N quand tu ecrit p(N) )
enfin ce sens (f(g(U)) =U si je ne me trompe pas) est evident, c'est l'autre qui contiens quelque chose (c'est la qu'on utilise l'hypothèse "sous groupe contenant H")
oui G/H
ok
Oui enfait la vérification à laquel je pensais c'est que si M et N sont deux sous groupe de G contenant H distinct alors M/H et N/H sont des sous groupes distincts de G/H... ie prouver qu'il y a une correpondence entre les sous groupes de G/H et ceux de G contenant H... mais c'est vrai que c'est pas evident que ca soit demandé ^^ (
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