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Niveau Maths sup
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sous groupe de G/H

Posté par
J-R
17-08-09 à 11:11

bonjour,

Citation :
après le th de factorisation pour les morphismes de groupe, il y a un petit exo:
soit G un groupe et H un sous groupe distingué de G.
Alors les sous groupes distingués de G/H sont les N/H avec N sous groupe distingué de G contenant H.
Puis mq (G/H)/(N/H) est isomorphe à G/N


j'avais déjà fait un exo dans le cas des sous groupes de Z/nZ (on considèrais la surjection canonique de Z ds Z/nZ puis on sait que les nZ sont les sous groupes de Z ....)

je pense que ça devrait marcher de la même façon en se servant du th de factorisation...
la deuxième question laisse penser que on peut considèrer f: (G/H)--->(G/N) ... mais faire d'emblée intervenir N: sous groupe distingué de G contenant H n'emmène rien (existence de N ?)...
la simple surjection canonique de G ds G/H : soit J un sous groupe distingué de G/H alors s^{-1}(J)=N est un sous groupe distingué de G ... puis J=s(N)  mais par là j'arrive pas à montrer que N contient H et je me sers pas du th de facto...

donc s'il y a une autre méthode ((ne) faisant (pas) intervenir d'application) ...

merci

Posté par
Ksilver
re : sous groupe de G/H 17-08-09 à 11:47

Salut !

((ne) faisant (pas) intervenir d'application)>> ce n'est vraiment pas une bonne idée ca : le quotient est un objet relativement abstrait qu'on ne maitrise formellement que via les applications défini dessus (en gros, un quotient que ca soit un groupe, un ensemble ou autre chose on ne sait pas vraiment ce que c'est, mais on sait ce qu'est une application défini dessus... )


mais faire d'emblée intervenir N: sous groupe distingué de G contenant H n'emmène rien (existence de N ?)>>> c'est effectivement, une bonne idée, et ton problème c'est juste que tu n'as pas fait la quesiton 1 avant (l'existence de N est justement le résultat qu'on prouver en 1... )


enfin...
1)si on note p:G->G/H la projection canonique, on à une bijection entre les sous groupes distinqué de G contenant H et les sous groupe de G/H donné par :

f : U -> p(U) (pour U sous groupe distinqué de G contenant H)
qui est une bijection car ca réciproque est :
g :V->p^(-1)(V)

(tous ce que tu as à vérifier c'est que g(f(U)) = U et f(g(U))=U, et que f et g envoi bien des groupes distingué sur des groupes distingué)


2) si on a p:G->G/N comme, H est contenue dans N = ker p, cette application ce factorise en p' :G/H -> G/N


p' est surjective car G->G/H->G/N l'est.
donc p' définie un isomorphisme entre (G/H)/(ker p') et G/N

or évidement ker p'= N/H, ce qui achève la preuve.

Posté par
J-R
re : sous groupe de G/H 17-08-09 à 13:09

1) on peut structurer G/H de telle sorte que p soit un morphisme. dès lors le fait que p(U) est bien un groupe distingué de G/H est ok.
donc à partir d'un sous groupe distinqué de G/H, on peut lui faire correspondre un (unique) sous groupe distinqué de G contenant H, N.

2) a priori je t'ai suivi:
N=ker p car si p(x)=N alors xN=N donc x est dans N...
on factorise: p=p'oh où p' tq ...
p est surjective (par définition) donc p' aussi.
on refactorise p'=p''oh' où p''G/H)/Kerp' ---> G/N est un morphisme injectif donc un isomorphisme.
enfin kerp'=N:H car si p'(x)=N alors xH=N soit x ds N/H...

merci Ksilver

@

Posté par
Ksilver
re : sous groupe de G/H 17-08-09 à 14:44

De rien !


"dès lors le fait que p(U) est bien un groupe distingué de G/H est ok." : fais tous de meme attention que ca marche (pour le fait qu'il est distingué) seulement parceque p est surjective. en général l'image pas un morphisme d'un ss groupe distingué n'est pas ditingué.

Posté par
J-R
re : sous groupe de G/H 17-08-09 à 14:52

Citation :
seulement parceque p est surjective


exact (honnêtement ça m'est passé outre )  (distingué dans p(G) ...)

mais au fait pour déterminer les sous groupes de G/H, je prend la surjection canonique p:G --> G/H
U un sg de G/H ,
dès lors p^{-1}(U)=N sg de G
dc U=p_{|N}(N)=N/H est un sous groupe de G/N

Posté par
Ksilver
re : sous groupe de G/H 17-08-09 à 15:04

euh ...est un sous groupe de G/H tu veux dire !

(et puis tu n'as pas vraiment bessoin de considérer la restriction de p à N quand tu ecrit p(N) )

enfin ce sens (f(g(U)) =U si je ne me trompe pas) est evident, c'est l'autre qui contiens quelque chose (c'est la qu'on utilise l'hypothèse "sous groupe contenant H")

Posté par
J-R
re : sous groupe de G/H 17-08-09 à 15:45

oui G/H

ok

Citation :
enfin ce sens (f(g(U)) =U si je ne me trompe pas) est evident, c'est l'autre qui contiens quelque chose (c'est la qu'on utilise l'hypothèse "sous groupe contenant H")

je vois pas ce que tu cibles ...
ce sens tu parles de : si U est un sg contenant H distinqué de G alors il est de la forme N/H ...
l'autre sens serait de vérifier que les N/H où N est un sg dist de G contenant H est un sg de G/H dist de G contenant H.
N/H=p(N) donc est un sg distinqué de G contenant H
enfin je ne vois pas de ce que tu veux parler ?

Posté par
Ksilver
re : sous groupe de G/H 18-08-09 à 12:54

Oui enfait la vérification à laquel je pensais c'est que si M et N sont deux sous groupe de G contenant H distinct alors M/H et N/H sont des sous groupes distincts de G/H... ie prouver qu'il y a une correpondence entre les sous groupes de G/H et ceux de G contenant H... mais c'est vrai que c'est pas evident que ca soit demandé ^^ (

Posté par
J-R
re : sous groupe de G/H 18-08-09 à 18:25

ce qui est assuré par le fait que f est une bijection.

ok ça marche

merci

@+



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