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Sous-groupe/ relation d'équivalence
Bonjour, voila mon problème:
Soit(G,*) un groupe et H un sous-groupe de G . On defini la relation ~ sur G par x~y si et seulement si x*y
H.
1)Montrer que ~ est une relationd'équivalence
2) Soit G un groupe FINI et H un sous-groupe de G. En utilisant la question précédente, montrer que card(H) divise card(G).
3)Soit x un élément d'un groupe (G,*). On appelle ordre de x le plus petit entier naturel non nul k tel que x^k = e , où e est le neutre de G. Montrer que si G est un groupe fini, l'ordre de x divise le cardinal de G.
Alors voila, la 1) est plutot facile j'arrive a montrer que c'est une relation d'equivalence sans trop de difficulté.
Pour la 2) je ne vois pas comment mettre en rapport le fait que c'est une relation d'equivalence et les cardinaux??
Pour moi comme H
G alors card(H)<card(G) c'est donc normale qu'il le divise. il n'y a pas une vrai démonstration??
La 3) ba je ne vois pas du tous, k n'est-il pas forcement egale au cardinal de G ?
merci de votre aide
pour la 2 la relation d'équivalence découpe le groupe en une partition en classe d'équivalence qui ont toutes le même cardinal celui de H
les classes sont des translatées de H
Salut 
Pour moi comme H C G alors card(H)<card(G) c'est donc normale qu'il le divise.
Ben oui, c'est connu, 2<3 donc 2 divise 3.
Plus sérieusement, regarde en quoi le fait de prouver que toutes les classes d'équivalences ont le même cardinal répond à la question puis prouve-le.
La 3) est une conséquence immédiate du 2), c'est en fait un cas particulier.
pour la 2 la relation d'équivalence découpe le groupe en une partition en classe d'équivalence qui ont toutes le même cardinal celui de H
les classes sont des translatées de H
Sa il faut que je le prouve non??
Tu pourrai m'expliquer ce qu'est un translaté de H, c'est une notion qu'on n'a pas vu.
Pour montrer la partition, je peux me servir du fait que le neutre e
H et donc dire utiliser la classe de e . Est-ce que ca peut marcher?
merci
pour la partition toute relation d'equivalence donne une partition en classe d'equivalence. C'est même tout l'intérêt des relations d'equivalence notamment pour faire du denombrement. c'est surement dans ton premier cours sur relation d'équivalence.
Tu dois avoir une faute de frappe
ce n'est ss doute pas (car avec cela x ne serait pas équivalent à x) mais plutôt
.
Maintenant pour voir que toutes les classes ont le même nombre d'éléments que H :
D'abord H est la classe de e
Ensuite si la classe de x est x+H si le groupe est commutatif et noté additivement. on parle alors de translaté de H.
Avec la notation multiplicative de la loi la classe de x est H*x car équivaut à
.
entre H classe de e et une autre classe H*x classe de x, la multiplication par x donne une bijection.
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