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spé math terminal S
Bonjour,
j'ai un exo de spé à faire et il y a certaines choses que je n'arrive pas
PARTIE A j'ai tout réussi sauf :
Pour 1<ou=n<ou=4 déterminer le reste de la division de 4^n par 17. En déduire que, pour tout entier k, le nombre 4^(4k) -1 est divisible par 17
PARTIE B
1)J'ai démontré précedemment que 4^n est congru à 1 modulo 3. Et il me demande de démontrer qu'il existe un entier n>ou=1 tel que 4^n est congru à 1 modulo p. Je ne sais pas comment faire.
2)soit n>ou=1 un entier naturel tel que 4^n est congru à 1 modulo p. On note b le plus petit entier strictement positif tel que 4^b est congru à 1 modulo p, et le reste r de la division euclidienne de n par b.
a) Démontrer que 4^r est congru à 1 modulo p. En déduire que r=0.
b) Prouver l'équivalence : 4^n -1 est divisible par p, si et seulement si, n est multiple de b.
c) En déduire que b divise p-1
Aidez moi svp parce que j'étais bien partie au début mais la partie B en particulier me bloque totalement.
Merci;
partie B)
1)p est premier ??? à mon avis p>2 et est premier non ?
si oui, d'après le peitit th de fermat on a:
si p ne divise pas 4 (d'où il doit etre différent de 2) alors [p]
on a l'existence de n avec n=p-1.
n=bq+r avec 0\le r < b et q entier naturel.
donc
de plus
donc
donc
on a :
donc
on sait que r est un entier naturel tel que r<b et or b est le plus petit entier naturel non nul tel que
donc r=0
n=bq+r avec et q entier naturel.
donc
de plus
donc
donc
on a :
donc
on sait que r est un entier naturel tel que r<b et or b est le plus petit entier naturel non nul tel que
donc r=0
pepette2790 : donne ton énoncé, on ne peut pas deviner!
7--19 : je me pose les mêmes questions (mais je n'ai pas cherché la réponse) !!... 
bon j'ai pu beaucoup de temps mais on a r=0 donc n=bq donc ...
ensuite donc ...
je reviendrais certainement
a+
merci beaucoup
J'ai pas trop compris ce que tu a fé pour la question de la partie A donc si tu revien pourras-tu m'expliquer s'il te plait.
Et si je n'ai pas marqué toutes les questions de la partie A c'est parce qu'elles sont ndépendantes et vu ke j'ai réussi je n'y voyais pas l'intéret.
Merci
A+
mais ça reste pas très clair la suite de la question parce que à aucun moment tu as mis que 4^(4k) -1 est congru à 0 modulo 17 donc je vois pas trop ta démonstration
il n'y a pas de problème alors ...
si on résume: si n=4k alors le reste est 1.
si n=4k+1 alors le reste est 4.
si n=4k+2 alors le reste est 16.
si n=4k+3 alors le reste est 13. (j'avais fais une erreur de frappe car on n'avait donc
)
j'ai jamais vu l'application triviale mais je vais me débrouiller et on véra bien si j'y arrive.
Je dois y aller
merci et
a+
bonjour
2b)b est le plus petit entier strictement positif tel que 4^b est congru à 1 modulo p
si n est un multiple de b alors n=bq q € N
donc 
(p)
d'où 1 (p)
de plus les hypothèses 1 (p) et n=bq+r entaînent r=0 c'est-à-dire n est un multiple de b
en conclusion pour tout entier naturel n:est multiple de p si et seulement si n est multiple de b
bon courage
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