Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Structures algébriques
Bonjour, j'ai un peu de mal à savoir ce dont j'ai le droit et ce dont je n'ai pas le droit de faire pour faire des exercices sure les structures.
Soit G un groupe fini de neutre e, tel que 
x
G, x²=e
- Montrer que G est commutatif (on me propose d'utiliser (xy)(xy)).
- Soit H sous groupe de G, xG\H et K=gr(H
{x}) sous groupe de G engendré par H{x}, montere que cardK=2cardH
- En déduire que cardG est une puissance de 2.
Pour la première question j'ai écrit: (xy)(xy)= (xy)² = e or (xy)²= (yx)² = (yx)(yx) donc G commutatif. Je ne suis pas du tout sur et on ne m'aurait pas proposer d'utiliser (xy)(xy) je n'aurais surement rien fait car jusqu'alors j'ai toujours eu des groupes avec une loi bien défini par une équation mêlant x et y.
Pour les questions suivantes... je sais que H
G, H{x}K, que K est l'intersection de tous les sous groupe contenant H{x} mais je ne vois/comprends pas vraiment comment définir H (à part avec la caractérisation des sous groupe) et comment faire intervenir les cardinaux...
Merci d'avance pour votre aide 
Salut Thomas!
En fait j'ai déjà mis une réponse à cette exercice hier, à cette page :
https://www.ilemaths.net/sujet-groupes-259596.html
L'exercice est le même, mais pas les question, l'autre était un peu plus brutal ...
Tout d'abord pour montrer que G est commutatif il faut suivre l'indication, et écrire ceci :
Pour tout x,y de G
(xy)(xy) = (xy)2 = e
donc en multipliant à droite par y
xyxy*y = xyx(y*y) = xyx(y2) = xyx et comme xyxy = e on a aussi :
xyxy*y = e*y = y , donc xyx = y
puis en multipliant à droite par x
xyx*x = xy(x2) = xy et comme xyx = y on a aussi :
xyx*x = y*x
d'où
xy = yx
Ainsi G est commutatif.
Pour la suite de l'exo il faut que tu trouves qui est K, en fait cette question se fait un peu à l'intuition : il faut sentir qui est K (t'as un bon odorat? ). D'abord K contient H qui est un sous groupe, mais on lui a rajouté {x}, mince alors! et pourquoi ce H{x} ne serait pas un sous-groupe? Haha!
Et bien parce que le loi n'est plus interne ... Alors qui faut-il rajouter à H{x} pour qu'il devienne un groupe, je te laisse méditer .
Merci pour ta démonstration de la commutativité^^
Pour mon flair... apparament il est pas développé. Je ne comprends pas ce que représente {x} . Pour les groupes, je connais leur caractérisation par cœur :p => il faut que la loi soit associative, qu'elle possède un élément neutre et que tout x dans G possède un symétrique. Je suppose donc qu'il faille que {x} possède son symétrique dans H pour que H{x} devienne un groupe. Mais... sans conviction
et si tu essaies de calculer x*x tu tombes sur ?
Donc là n'est pas le problème.
Regarde plutôt qui est x*h, pour un h de H, est-ce un élément de H? si c'est non, il devra appartenir à K nécessairement.
Quelques précisions sur comment trouver K :
H{x} n'est pas un groupe car sa loi n'est pas interne, cependant il vérifie toutes les autres conditions (e est dans H, et tout élément vaut sont symétrique).
Tout ce qu'il reste à faire c'est de rajouter à H{x} les éléments nécessaires pour que la loi soit interne.
D'abord essaie de comprendre pourquoi la loi n'est pas interne.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac