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Niveau maths spé
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Posté par
parc64
02-01-09 à 13:03

Bonjour,

je n'arrive pas a montrer que la suite suivante

u(n+1)=u(n)/(1-1/(2^(n+1))) u(1)=2

tend vers 1

merci d'avance.

Posté par
parc64
re : Suite 02-01-09 à 13:05

Excusez-moi c'est

u(n+1)=racine(u(n))/(1-1/(2^(n+1))) u(1)=2

Posté par
Drysss
re : Suite 02-01-09 à 13:50

J'utilise pour équivaut à
Moi j'attaquerais en disant que u(n+1) u(n).
J'étudie en suite f:x-> x : points fixes, ect...
Donc, on obtient 3 limites possibles : 0,1 ou +oo.
u est décroissante au voisinage de +oo donc c'est pas +oo.

Si u(n+1)<1 alors u(n)<1. (facile)
Par récurrence descendante, on montre que si u(n)<1 alors u(1)<1.
Donc u(n)>1.
Donc u ne converge pas vers 0.

Plus qu'une limite possible : 1

Posté par
Sofian D
suite 02-01-09 à 14:17

Salut et bonne année!! Alors tout d'abord tu montres très simplement par récurrence que pour tout n u(n)>1 , ensuite encore par récurrence tu montres la décroissance de (u(n)) en utilisant le quotient u(n+1)/u(n).La suite étant minorée et décroissante elle est convergente vers x.La suite
(u(n+1)) converge aussi vers x donc en vue de la relation de récurrence tu en déduis que x=racine(x) donc comme x est supérieure ou égal à 1, x=1

Posté par
parc64
re : Suite 02-01-09 à 15:27

Et pourquoi est-ce que un+1/un est plus petit que 1 ?

Posté par
parc64
re : Suite 02-01-09 à 15:33

Moi jai posé gn:x->rac(x)/(1-1/(2^(n+1)) et jai montré par récurrence que pour tout n>=2

u(n)>=1/(1-1/(2^(n+1))^2 donc que gn(un)<un un est décroissante minorée par 1 donc elle converge vers l et forcément l=1.



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