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Niveau Maths sup
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suite convergence avec partie entiere

Posté par
madman
05-09-09 à 14:41

salut les amis!
j'ai besoin de votre aide !

pour tout entier naturel  n, on pose un=n^(1/3)-E(n^(1/3)) (avec E partie entier

Prouvez la convergence et la limite de la suite extraite de u :  v=(u(n+1)^3 -1)n>=0  (ce qui est souligné est en indice)

voila je vous remercie d'avance bonne journée

Posté par
dagwa
re : suite convergence avec partie entiere 05-09-09 à 20:35

Bonjour,

je dirais \sqrt[3]{(n+1)^3-1}=(n+1)(1-\frac{1}{(n+1)^3})^{1/3}=(n+1)(1-\frac{1}{3(n+1)^3}+o(\frac{1}{n^5}))=n+1+O(\frac{1}{n^2}).

Ainsi u_{\sqrt[3]{(n+1)^3-1}}=O(\frac{1}{n^2})-E(O(\frac{1}{n^2})) tend vers 0.

Posté par
dagwa
re : suite convergence avec partie entiere 05-09-09 à 21:31

J'ai commis une bévue. \sqrt[3]{(n+1)^3-1} est proche de n+1 en lui étant toujours inférieur donc sa partie entière est strictement inférieure à n+1. La limite vaut donc 1.

D'ailleurs il est facile de voir que n^3<(n+1)^3-1<(n+1)^3 d'où n<\sqrt[3]{(n+1)^3-1}<n+1. La partie entière de \sqrt[3]{(n+1)^3-1} est donc n. En faisant un DL de \sqrt[3]{(n+1)^3-1} on obtient n+1+O(\frac{1}{n^2}) et n+1+O(\frac{1}{n^2})-n tend vers 1.



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