Bonjour,
Voilà je lisais un cours sur les suites de fonctions (convergence simple, uniforme ..). Et il y a un exemple qui me trouble.
Salut tout le monde
Gui_tou >> Voici un bon exemple qui va te faire comprendre en quoi l'implication est bancale:
On prend n€N*.
fn est définie par: 0 si x > = 1/n.
1 si x = n
Sinon, on se débrouille pour que sa courbe forme un triangle isocèle sur [0,1/n].
(Fais un dessin, sinon tu comprendras que dalle).
Il est clair que (fn) tend vers la fonction nulle, mais on voit aussi très bien pourquoi la convergence n'est pas uniforme.
Salut les gars
Kéké > ok pour Dini, ça confirme un peu ce que je préssentais ^^
J'ai la déf avec les epsilon : en fait j'affine ma question.
Avec la conv simple, on a :
Avec la conv uniforme :
Fixons . Donc d'après la conv simple, quel que soit , il existe un rang à partir duquel .
Donc si on choisit , on a alors et donc non ?
(ou bien justement ce n'existe pas toujours .. ?)
salut
ton sup sur I vaut peut être (et ici, surement) et du coup tu ne peux plus conclure ...
Prend l'exemple suivant
sur et sur
Elle tend simplement vers 0 (en écrivant avec les espilons, c'est évident).
Cependant, elle ne tend pas uniformément vers 0, puisque pour tout n,
Salut,
ton n'existe pas toujours effectivement,
il faut comme tu vois que soit majoré dans IN et c'est pas toujours le cas (en plus il faut que ce soit vrai pour tout .
Salut les gars
Okk merci. J'avais besoin de cibler le hic, c'est donc l'existence (ou pas) de
Je réfléchis à tout ça et je poste si besoin est.
Merci à tous
Salut !
On peut visualiser facilement ce que représente cette convergence uniforme.
Si la suite de fonctions converge uniformément vers une fonction , ca veut dire que pour un fixé, si l'on trace un "tuyau" (je vois pas d'autre mot) de rayon autour de la fonction limite, alors a partir d'un certain rang, les graphes des seront tous dans ce tuyau.
Sur le graphe que tu as posté, on voit que les ne rentrent pas dans un tube centré sur l'axe des abscisses, pour
Ils sortent tous de ce tube, a cause du , et de la continuité.
Si c'est pas clair, hésite pas
Bonjour gui_tou et tous les autres.
En effet, il y a un théorème qui dit que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue. et la suite que tu donnes est un exemple type où l'on conclut que la convergence n'est pas uniforme, puisque la limite n'est pas continue.
Alors je suggère d'étudier toujours sur [0,1] la suite
gn(x)=xn(1-x)
Bonjour Arkhnor et Camélia
Vi Arkhnor, dans un vieux bouquin j'ai lu cette interprétation graphique ! (à la place de tuyau : enveloppe ? )
Oki Camélia
La suite (gn) de fonctions converge uniformément vers la fonction nulle sur [0,1], right ?
Merki !
Les fonctions sont continues et positives sur [0,1] et atteignent donc un maximum. De plus f(0)=f(1)=0 et donc ce maximum est atteint sur (0,1).
Il suffit de remarquer que le max est toujours atteint en n/(n+1) et de calculer f_n(n/(n+1)) pour voir que la convergence est uniforme sur [0,1].
a+
Salut Arkhnor,
Pour cette histoire de tube, que doit-on prendre pour epsilon ?
Parce que si je prends epsilon=1, toutes les courbes sont dans ce tube, non ?
MErci !
Bonjour à tous,
Je reprend ce que tu disais un peu plus haut gui-tou
Oui voilà Fradel, c'est le hic que j'essayais de saisir, je ne voyais pas ce qui clochait!
C'est la même histoire pour continuité simple/uniforme ?
Merci
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