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Suite de fonctions & convergence uniforme

Posté par
gui_tou
13-07-08 à 12:55

Bonjour,

Voilà je lisais un cours sur les suites de fonctions (convergence simple, uniforme ..). Et il y a un exemple qui me trouble.

Citation :
Une suite de fonctions peut converger simplement sans converger uniformément.

Ains la suite définie sur 3$[0,1] par 3$f_n(x)=x^n converge simplement vers la fonction 3$f telle que : 3$\{f(x)=0\rm{ si }0\le x<1\\f(1)=1

En effet, 3$\lim_{n\to\infty}x^n=0 pour 3$|x|<1. Mais il apparaît sur la figure suivante que   3$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=1

Suite de fonctions & convergence uniforme

La convergence n'est donc pas uniforme.


Pourtant la convergence est simple, donc   3$\forall x\in[0,1],\;\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)  donc la borne supérieure de 3$|f_n-f| sur 3$[0,1] devrait elle aussi tendre vers 0 quand 3$n\to\infty, non ? (je crois que je ne vois pas pourquoi convergence simple 3$\not\Longright convergence uniforme )

En admettant que la convergence ne soit pas uniforme : est-ce dû au fait que 3$(f_n) est une suite de fonctions continues, et qu'une suite de fonctions continues ne peut pas converger uniformément vers une fonction non continue (ici 3$f)?

Ainsi il ne peut pas y avoir de discontinuité en 1, et c'est donc pour ça que 3$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=1

Merci de m'éclairer sur ce point

Posté par
infophile
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 13:07

Salut ^^

Pour ta deuxième question il me semble que c'est le théorème de Dini non ?

Posté par
infophile
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 13:12

Citation :
(je crois que je ne vois pas pourquoi convergence simple  convergence uniforme  )


Reviens à la définition avec les epsilons.

Par analogie c'est un peu comme continuité simple et uniforme, t'as vu ça ?

Posté par
1 Schumi 1
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 13:21

Salut tout le monde

Gui_tou >> Voici un bon exemple qui va te faire comprendre en quoi l'implication est bancale:

On prend n€N*.
fn est définie par: 0 si x > = 1/n.
1 si x = n
Sinon, on se débrouille pour que sa courbe forme un triangle isocèle sur [0,1/n].

(Fais un dessin, sinon tu comprendras que dalle).

Il est clair que (fn) tend vers la fonction nulle, mais on voit aussi très bien pourquoi la convergence n'est pas uniforme.

Posté par
gui_tou
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 13:54

Salut les gars

Kéké > ok pour Dini, ça confirme un peu ce que je préssentais ^^

J'ai la déf avec les epsilon : en fait j'affine ma question.

Avec la conv simple, on a  :  3$\forall \epsilon>0,\,\forall x\in I,\,\exists N(\epsilon,x)>0,\,/\,n>N(\epsilon,x)\,\Longright\,|f_n(x)\,-\,f(x)|<\epsilon

Avec la conv uniforme : 3$\forall \epsilon>0,\,\exists N(\epsilon)>0,\,/\,n>N(\epsilon)\,\Longright\,\sup_{x\in I}|f_n(x)\,-\,f(x)|<\epsilon

Fixons 3$\epsilon>0. Donc d'après la conv simple, quel que soit 3$x\in I, il existe un rang 3$N(\epsilon,x) à partir duquel 3$|f_n(x)\,-\,f(x)|<\epsilon.

Donc si on choisit 3$N_0=\sup_{x\in I} N(\epsilon,x), on a alors 3$\forall x\in I,\,n>N_0\,\Longright\,|f_n(x)\,-\,f(x)|<\epsilon  et donc 3$\sup_{x\in I}|f_n(x)\,-\,f(x)|<\epsilon non ?

(ou bien justement ce 3$N_0 n'existe pas toujours .. ?)

Citation :
Par analogie c'est un peu comme continuité simple et uniforme, t'as vu ça ?


Non ^^

Ayoub > merci pour l'exemple On a clairement 3$\lim_{n\to\infty}\;\sup_{x\in{\bb R}^+}|f_n(x)\,-\,f(x)|=1, me trompé-je ?

Pff jsuis nul

Posté par
1 Schumi 1
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 14:10

Tu parles de quel exemple dans ta dernière question?

)

Posté par
gui_tou
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 14:11

le tien, le truc avec les pics

Posté par
tealc
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 14:12

salut

ton sup sur I vaut peut être (et ici, surement) +\infty et du coup tu ne peux plus conclure ...

Prend l'exemple suivant

3$f_n(x) = 0 sur 3$[0,n[ et 1 sur 3$[n,+\infty[

Elle tend simplement vers 0 (en écrivant avec les espilons, c'est évident).

Cependant, elle ne tend pas uniformément vers 0, puisque pour tout n, 3$\sup (f_n(x)-f(x)) = 1

Posté par
romu
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 14:13

Salut,

ton N_0 n'existe pas toujours effectivement,

il faut comme tu vois que B_{\varepsilon} = \{N(\varepsilon,x):\ x\in I\} soit majoré dans IN et c'est pas toujours le cas (en plus il faut que ce soit vrai pour tout \varepsilon>0.

Posté par
gui_tou
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 14:23

Salut les gars

Okk merci. J'avais besoin de cibler le hic, c'est donc l'existence (ou pas) de 3$N_0

Je réfléchis à tout ça et je poste si besoin est.

Merci à tous

Posté par
Arkhnor
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 15:27

Salut !

On peut visualiser facilement ce que représente cette convergence uniforme.

Si la suite de fonctions (f_n) converge uniformément vers une fonction f, ca veut dire que pour un \epsilon > 0 fixé, si l'on trace un "tuyau" (je vois pas d'autre mot) de rayon \epsilon autour de la fonction limite, alors a partir d'un certain rang, les graphes des f_n seront tous dans ce tuyau.

Sur le graphe que tu as posté, on voit que les f_n ne rentrent pas dans un tube centré sur l'axe des abscisses, pour x \in [0;1[
Ils sortent tous de ce tube, a cause du f_n(1) = 1, et de la continuité.

Si c'est pas clair, hésite pas

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 16:42

Bonjour gui_tou et tous les autres.

En effet, il y a un théorème qui dit que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue. et la suite que tu donnes est un exemple type où l'on conclut que la convergence n'est pas uniforme, puisque la limite n'est pas continue.

Alors je suggère d'étudier toujours sur [0,1] la suite

gn(x)=xn(1-x)

Posté par
gui_tou
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 19:40

Bonjour Arkhnor et Camélia

Vi Arkhnor, dans un vieux bouquin j'ai lu cette interprétation graphique ! (à la place de tuyau : enveloppe ? )

Oki Camélia

La suite (gn) de fonctions converge uniformément vers la fonction nulle sur [0,1], right ?

Merki !

Posté par
otto
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 21:38

Les fonctions sont continues et positives sur [0,1] et atteignent donc un maximum. De plus f(0)=f(1)=0 et donc ce maximum est atteint sur (0,1).

Il suffit de remarquer que le max est toujours atteint en n/(n+1) et de calculer f_n(n/(n+1)) pour voir que la convergence est uniforme sur [0,1].

a+

Posté par
fusionfroide
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 22:53

Salut Arkhnor,

Pour cette histoire de tube, que doit-on prendre pour epsilon ?

Parce que si je prends epsilon=1, toutes les courbes sont dans ce tube, non ?

MErci !

Posté par
gui_tou
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 13-07-08 à 23:31

Salut otto et ff

ba ça doit être valable quel que soit epsilon donc pour 1/2 ça coince

Posté par
fusionfroide
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 14-07-08 à 00:19

ok

Posté par
Fradel
Suite de fonctions & convergence uniforme 15-07-08 à 11:07

Bonjour à tous,

Je reprend ce que tu disais un peu plus haut gui-tou

Citation :
J'ai la déf avec les epsilon : en fait j'affine ma question....Fixons >0 ;Donc d'après la conv simple, quel que soit xI, il existe un rang N(,x) à partir duquel lfn(x)-f(x)l


je suis d'accord. Mais quand tu écris :
Citation :
Donc si on choisit N0=supxIN(,x) ...

là, je ne suis pas d'accord, car, comme tu le dis toi-même juste en dessous, on ne peut pas garantir que ce sup existe, bref, que cet ensemble d'entiers naturels soit fini puisqu'on prend une infinité de valeurs de x.

Posté par
gui_tou
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 15-07-08 à 11:13

Oui voilà Fradel, c'est le hic que j'essayais de saisir, je ne voyais pas ce qui clochait!

C'est la même histoire pour continuité simple/uniforme ?

Merci

Posté par
otto
re : Suite de fonctions & convergence uniforme 15-07-08 à 14:24

C'est la même histoire dans le sens où ton delta dépend de x, alors que pour la continuité le delta ne dépend que de epsilon.

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