Bonsoir a tous, je bute un peu sur un D.M et j'espère que certains d'entre vous pourrons m'aider:
Voila le sujet :
On considère la suite de nombres réels(un)n€N définie par la relation de récurrence u0=a €R+ et pour tout n€N un+1=un+(un)²

1A/ : Montrer que cette suite est strictement positive et monotone.
B/ : Montrer que cette suite diverge vers l'infini

2/ on défini la suite Vn pour n€N par Vn=(1/(2^n))*ln(un)
A/ Prouver que pour tout n€N vn+1-Vn=(1/(2^(n+1))*ln(1+(1/Un))
En déduire que pour tout n,p€N² 0 < Vn+p+1-Vn+p ≤ (1/(2^(n+p+1))*ln(1+(1/un))
B/ En déduire que pour tout k,n€N², 0 < Vn+k+1-Vn ≤ (1/2^n)*ln(1+(1/un))
C/ Démontrer que la suite Vn est majorée, puis qu'elle converge vers une limite noté "w"
D/ Montrer que pour tout n€N Un ≤ exp(w(2^n)). En passant à la limite pour n fixé dans l'encadrement de la question 2B, montrer que pour tout n€N exp(w(2^n)) ≤ Un + 1
E/ On pose Bn= exp(w(2^n))-Un. Montrer que la suite (Bn) est bornée, et qu'elle vérifie la relation suivante : 2Bn-1 = (Bn+1 +(Bn)^2 + Bn) * exp(-w(2^n))
F/ Prouver que n-->+infinity on a Un=-1/2 + exp(w(2^n)) + o(1)

Voila un exercice et voila ce que j'ai pu faire :

1A : On doit vérifier que Un+1≥Un
Soit que Un+(Un)²≥ Un
Or (Un)²≥ 0
Donc Un+(Un)²≥ Un
donc la suite est strictement croissante
et Uo=a € R+
donc Uo > 0
Donc la suite est strictement positive

1B : Appliquons la fonction f
on a donc : f(x)=x+x²
or lim x+x²=+infinity pour x grand
donc la suite diverge vers +infinity

2A : on a : vn+1-Vn = (1/(2^(n+1)))*ln(un+1) - (1/(2^n))*ln(un)
= (1/2^n)*((ln(un+1)-2ln(un))/2))
= (1/(2^(n+1))*ln(1+(1/Un))

Après pour la 2éme partie du A et le B je n'y arrive pas


C : on a :

Vn+k+1-Vn ≤ (1/2^n)*ln(1+(1/un))
donc Vn+k+1 ≤ (1/2^n)*ln(1+(1/un)) - (1/(2^n))*ln(un)
Vn+k+1 ≤ (1/(2^n))*(ln(un + 1)) = w

et lim Vn+k+1  = 0 pour x grand

Et après je n'y arrive pas non plus, merci si vous pouvez m'éclairer...