Voila bonjour je sollicite votre aide car malgré de multiples recherche de ma part je n'arrive pas cet exercice avec une récurrence 😔
Soit la suite (Un) définie par Un=0 et pour tout n appartenant à N , Un+1=ln(Un+2)
1) Démontrer par récurrence que pour tout n appartenant à N, Un inférieur ou égal à Un+1
2) Montrer par récurrence que (Un) est majorée par 2
3) Que peut on en deduire pour la suite (Un) ?
Merci beaucoup de votre aide qui sera pour moi très précieuse 🙏🏼
1 ère étape : initialisation de la récurrence :
2° hypothèse de récurrence
3° Passage au rang suivant
4° Conclusion
Bonjour,
Vérifie l'énoncé concernant le premier terme de la suite, pour indiquer les indices des termes utilise le bouton X2 sous le cadre
Oui j'ai fait une amorce en disant que U0=0 et que Uo+1=ln(U0+2)
Et donc U1=ln2
Soit U1 environ égale a 0,7 donc que la propriété était vraie au rang 0 car U0 < U1
Mais c'est l'hérédité qui me pose problème je ne sais pas comment m'y prendre 😔
J'ai peut être trouver quelque chose, j'ai tenté une hérédité:
On suppose l'inégalité vraie au rang n : U0<Un
Est-elle vraie au rang n+1? A t-on Un<Un+1 ?
Et j'ai tenté de le prouver en faisant de cette manière:
U0<Un
0<Un
2<Un+2
ln 2< ln(Un+2)
ln2<Un+1
Mais je suis pas sur... Ou du moins j'ai l'impression qu'il me manque quelque chose...😐
Tu supposes ton Hypothèse de Rec vraie donc Vn, Un<Un+1 puis tu passes à l'exponentiel qui ne modifie pas le sens de l'inégalité car la fonction exponentielle est croissance or, Un+1=ln(Un+2) donc exp(Un+1)=Un+2 ou encore Un+1=exp(Un).
En passant à l'exponentiel dans Un<Un+1 tu te retrouves avec à droite un+1 et à gauche Un+2 et c'est bon
salut
pas besoin d'exponentielle ...
soit P(n) la propriété : (*)
on suppose P(n) vraie (pour un certain n)
alors
(*) => (+) car la fonction x --> x + 2 est croissante
(+) => (-) car la fonction x --> ln x est croissante
or (-) <=> donc P(n + 1) est vraie
donc P(n) => P(n + 1) est vraie
....
dans ce cas la deuxième récurrence est immédiate puis la deuxième question relève du théorème de la limite monotone
Merci beaucoup pour votre précieuse aide à ma première question qui me posait tant de soucis, maintenant c'est tout à fait clair.
Mes sincères remerciements chers internautes 😉
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