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Suite par récurrence

Posté par
Pietro710
29-08-16 à 16:05

Voila bonjour je sollicite votre aide car malgré de multiples recherche de ma part je n'arrive pas cet exercice avec une récurrence 😔

Soit la suite (Un) définie par Un=0 et pour tout n appartenant à N , Un+1=ln(Un+2)

1) Démontrer par récurrence que pour tout n appartenant à N, Un inférieur ou égal à Un+1

2) Montrer par récurrence que (Un) est majorée par 2

3) Que peut on en deduire pour la suite (Un) ?

Merci beaucoup de votre aide qui sera pour moi très précieuse 🙏🏼

Posté par
kenavo27
re : Suite par récurrence 29-08-16 à 16:19

bonjour,
As-tu commencé quelque chose ?

Posté par
kenavo27
re : Suite par récurrence 29-08-16 à 16:25

1 ère étape : initialisation de la récurrence :
2° hypothèse de récurrence
3° Passage au rang suivant
4° Conclusion

Posté par
Labo
re : Suite par récurrence 29-08-16 à 16:28

Bonjour,
Vérifie l'énoncé  concernant le premier terme de la suite, pour indiquer les indices des termes utilise le bouton X2 sous le cadre

Citation :
Soit la suite (Un) définie par Un=0 et pour tout n appartenant à N , Un+1=ln(Un+2)

Posté par
Pietro710
re : Suite par récurrence 29-08-16 à 16:34

Oui j'ai fait une amorce en disant que U0=0 et que Uo+1=ln(U0+2)
Et donc U1=ln2
Soit U1 environ égale a 0,7 donc que la propriété était vraie au rang 0 car U0 < U1

Mais c'est l'hérédité qui me pose problème je ne sais pas comment m'y prendre 😔

Posté par
Pietro710
re : Suite par récurrence 29-08-16 à 16:40

Labo @ 29-08-2016 à 16:28

Bonjour,
Vérifie l'énoncé  concernant le premier terme de la suite, pour indiquer les indices des termes utilise le bouton X2 sous le cadre
Citation :
Soit la suite (Un) définie par Un=0 et pour tout n appartenant à N , Un+1=ln(Un+2)


Oui excuse moi ce n'est pas Un=o mais bien U0=0

Posté par
Pietro710
re : Suite par récurrence 29-08-16 à 16:57

J'ai peut être trouver quelque chose, j'ai tenté une hérédité:

On suppose l'inégalité vraie au rang n : U0<Un
Est-elle vraie au rang n+1? A t-on Un<Un+1 ?
Et j'ai tenté de le prouver en faisant de cette manière:
U0<Un
0<Un
2<Un+2
ln 2< ln(Un+2)
ln2<Un+1

Mais je suis pas sur... Ou du moins j'ai l'impression qu'il me manque quelque chose...😐

Posté par
valhockey04
re : Suite par récurrence 29-08-16 à 17:48

Tu supposes ton Hypothèse de Rec vraie donc Vn, Un<Un+1 puis tu passes à l'exponentiel qui ne modifie pas le sens de l'inégalité car la fonction exponentielle est croissance or, Un+1=ln(Un+2) donc exp(Un+1)=Un+2 ou encore Un+1=exp(Un).
En passant à l'exponentiel dans Un<Un+1 tu te retrouves avec à droite un+1 et à gauche Un+2 et c'est bon

Posté par
carpediem
re : Suite par récurrence 29-08-16 à 18:12

salut

pas besoin d'exponentielle ...

soit P(n) la propriété : u_n \le u_{n + 1} (*)

on suppose P(n) vraie (pour un certain n)

alors

(*) => u_n + 2 \le u_{n + 1} + 2  (+)  car la fonction x --> x + 2 est croissante

(+) => \ln(u_n + 2) \le \ln (u_{n + 1} + 2)  (-)  car la fonction x --> ln x est croissante

or (-) <=> u_{n + 1} \le u_{n + 2} donc P(n + 1) est vraie


donc P(n) => P(n + 1) est vraie


....

Posté par
valhockey04
re : Suite par récurrence 29-08-16 à 18:19

aaah je pensais que le n+2 était en indice de Un dans le log

Posté par
valhockey04
re : Suite par récurrence 29-08-16 à 18:22

dans ce cas la deuxième récurrence est immédiate puis la deuxième question relève du théorème de la  limite monotone

Posté par
Pietro710
re : Suite par récurrence 29-08-16 à 18:56

Merci beaucoup pour votre précieuse aide à ma première question qui me posait tant de soucis, maintenant c'est tout à fait clair.
Mes sincères remerciements chers internautes 😉

Posté par
carpediem
re : Suite par récurrence 29-08-16 à 19:27

de rien



PS : vu le logarithme il est nécessaire de montrer que la suite est bien définie ....



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