Somme de n termes en progression géométrique de raison 1/4 et de premier terme = 1/4

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Oui j'ai vu que c'était en progression mais quand je dois démontrer je dois utiliser k puis ensuite démontrer avec k+1 mais je vois pas comment faire

Supposons Sn = 1/3 [1-(1/4^n)] vrai pour une certaine valeur k de n, on a alors :

S(k) = 1/3 [1-(1/4^k)]

S(k+1) = S(k) + (1/4)^(k+1)
S(k+1) = 1/3 [1-(1/4^k)] + (1/4)^(k+1)
S(k+1) = (1/3) - (1/3).(1/4^k) + (1/4)^(k+1)
S(k+1) = (1/3) - (1/3)*4 (1/4)^(k+1) + (1/4)^(k+1)
S(k+1) = (1/3) - (1/4)^(k+1) * (4/3 - 1)
S(k+1) = (1/3) - (1/4)^(k+1) * 1/3
S(k+1) = (1/3) * (1 - (1/4)^(k+1))

Et donc, si Sn = 1/3 [1-(1/4^n)] est vrai pour une certaine valeur k de n, c'est encore vrai pour n = k+1  (1)
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Il faut ensuite vérifier que Sn = 1/3 [1-(1/4^n)] est vrai pour n = 1

Et ensuite, en utilisant (1), de proche en proche on aura Sn = 1/3 [1-(1/4^n)] vrai pour tout n de N*

Sauf distraction.