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suites, démontrer par récurrence

Posté par
pronono 30-10-07 à 11:27

bonjour,je ne comprends pas du tout la récurrence, je sais faire l'étape d'initialisation mais prouver le caractère héréditaire ! et j'ai un DM sur la récurrence si quelqu'un pouvait m'aider ce serait gentil.
Voilà, on me demande de démontrer par récurrence que pour tout entier n1 on a 1< un <3  avec la suite un définie par u0=1/2  et  un+1=(8(un)+3)/((un)+6).
J'ai montré que c'était vraie pour u1 car u1=14/13 mais je ne sais pas comment faire ensuite.
Merci d'avance

Posté par
jeroMre : suites, démontrer par récurrence 30-10-07 à 12:52

Bonjour,

Ton encadrement est faux u_n ne semble pas inférieur à 3 .

Je te montre avec ton énoncé :
Hypothèse de récurrence On suppose qu'il existe un entier n\geq 0 tel que 1< u_n <3.

Hérédité Montrons que cette propriété est vrai pour u_{n+1}.
Comme 1< u_n <3 alors 11<8u_n +3<27 et 7<u_n +6<9, donc \frac{1}{9}<\frac{1}{u_n +6}<\frac{1}{7} (car la fonction x\mapsto \frac{1}{x} est décroissante sur ]-\infty;0[).

On peut multiplier membre à membre les encadrements (ce sont tous des réels positifs) et on a:
\frac{11}{9}<\frac{8u_n +3}{u_n +6}<\frac{27}{7}

Comme 1<\frac{11}{9} car \frac{11}{9}\approx1,07.
Par contre \frac{27}{7}\approx 3,9 , donc pas inférieur à 3.

Il y a peut être une erreur...(dans mon calcul)

Posté par
Dremire : suites, démontrer par récurrence 30-10-07 à 13:29

u_{n+1}=f(u_n), avec f(x)=\frac{8x+3}{x+6}=8-\frac{45}{x+6} croissante sur [0;+\infty[ donc f([1/2;3[)=[f(1/2);f(3)[=[14/13;3[\subset]1;3[. Donc u_1=f(1/2)\in]1;3[ et si on suppose que u_n\in]1;3[,\,n\geq 1 alors u_{n+1}=f(u_n),\ u_n\in[1/2;3[ donc u_{n+1}\in]1;3[. Par récurrence, on a prouvé que u_n\in]1;3[ pour tout n\geq 1.

Posté par
prononore, suite démontrer par récurrence 30-10-07 à 13:34

merci d'avoir pris le temps de me répondre, j'ai refais tes calculs je n'y vois pas d'erreur, l'erreur viens peut etre de mon énoncé, je demanderais à ma prof, en tout cas merci de ton aide!

Posté par
jeroMre : suites, démontrer par récurrence 30-10-07 à 13:43

Exact Dremi, je n'ai pas été assez vigilant :
on doit montrer l'encadrement 1<u_n <3 pour n\geq 1 et pas pour n\geq 0.

Posté par
prononore 30-10-07 à 13:47

oups j'avais pas vu ta réponse Dremi, alors je réessaye comme tu me dis.

Posté par
prononore: suites, démontrer par récurrence 30-10-07 à 14:16

merci Dremi, mais je ne comprends pas la fin du résonnement et je ne vois pas en quoi il est démontrer la proposition initiale... help me please !

Posté par
prononore 30-10-07 à 15:50

up sil vous plait quelqu'un saurait il m'expliquer ?

Posté par
jeroMre : suites, démontrer par récurrence 30-10-07 à 15:58

Ce que Dremi explique, c'est que :
Si u_n \in \[0,5; 3 \[\, , alors en faisant ls mêmes raisonnements que ce que j'ai fait , on trouve que u_{n+1}=f(u_n )\in \]14/3;3\[, donc 14/3<u_{n+1}<3

Posté par
prononore 02-11-07 à 16:50

merci


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