Pour taper | tu tiens appuyer la touche Alt Gr puis tu tapes "6" en minuscules.
Qu'as-tu trouvé ?

Merci c'est vrai je n'avais pas vue. j'ai réussie à faire toutes les questions sauf la 3 où il me manque que la démonstration puis la question 5

bonjour

1) c'est simple à résoudre x1=(1+V5)/2 et x2=(1-V5)/2
F=Phi

F étant solution on an F²-F-1=0
donc F(F-1)=1
donc F-1=1/F
donc F=1+1/F
2) U(n+1)=1 + (1/Un) et Uo=2
a) considère la fonction f(x)=1+1/x=(x+1)/x définie, continue dérivable sur R*
tu as f'(x)=-1/x² <0 donc f est strictement décroissante

tu as f(2)=1+1/2=3/2 et f(3/2)=1+2/3=5/3

maintenant tu fais un raisonnement par rcurrence:

tu 3/2<=Uo=2<=2
supposes maintenant que : 3/2<=Un<=2
comme f est décroissante tu as en prenant l'image par f de chaque membre:
f(2)<=f(Un)<=f(3/2)
fonc 3/2<=U(n+1)<=2

b)|U(n+1)-F|<(4/9)|Un-F|?

Tu as f(F)=F car F=1+1/F=f(F)

U(n+1)-F=f(Un)-f(F)=(1+1/Un)-(1+1/F)
                   = 1/Un - 1/F
                   =(F-Un)/F.Un
donc
|U(n+1)-F|=|F-Un|/FUn

(3/2)<=Un<=2
3F/2 <=FUn<=2F
donc 1/FUn <= 2/3F

2/3F=4/3(1+V5)
    
V5>2 donc 1+V5>3 donc 1/(1+V5)<1/3
donc
1/3F <=(4/3)(1/3)=4/9
donc
|U(n+1)-F|<=(4/9).|F-Un|

3) tu as |Uo-F|=|2-F|<=(4/9)

supposes que |F-Un|<=(4/9)^n

tu as |U(n+1)-F|<=(4/9).|F-Un|<=(4/9).(4/9)^n=(4/9)^(n+1)

4)donc lim|F-Un|=0

donc lim Un=F

5)tu as |Un-F|<=(4/9)^n<=10^-6

donc nLn(4/9)<=-6Ln10

donc n>=-6Ln10/Ln(4/9)  car Ln(4/9) <0 car 4/9<1

il suffit de prendre no=E(6Ln10/Ln(9/4))

Désolé de vous répondre aussi tard mais je n'ai pas très bien votre démarche pour la question 2b et la 5. Pourriez vous m'aider?? Merci beaucoup

Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plait??

Est-ce que quelqu'un pourrait m'apporter son aide svp??

bonjour

qu'est-ce que tu n'as pas compris dans le 2b)?

Bonjour

Merci de votre réponse
Je n'ai pas compris quand vous avez dit que 2/3F=4/3(1+V5)

c'est du calcul j'ai remplacé F par (1+V5)/2

J'ai reessayé de le faire mais je ne trouve jamais ça comment ça se fait??

désolé il se fait tard
je vais rejoindre mes enfants

D'accord je comprend mais si vous avez un moment demain ou un autre jour je vous en serai très reconnaissante

est ce qu'il y aurait quelqu'un qui pourrait me débloquer à cet exercice svp??

bonsoir

j'ai écrit :

|U(n+1)-F|=|F-Un|/FUn

je cherche ensuite à majorer 1/FUn par 4/9 pour obtenir le résultat qu'on te demande:
|U(n+1)-F|<=(4/9).|F-Un|

donc si je montre que 1/FUn < 4/9

alors |F-Un|/FUn < (4/9)|F-Un|

-----------
tu as (3/2)<=Un<=2
donc 3F/2 <=FUn<=2F  ; en multipliant par F>0 les membres de l'inégalité
donc 1/FUn <= 2/3F

2/3F= (2/3)(2/(1+V5)  ; car 2/(1+V5)=1/F
    
Tu as V5>2 ; car V5=2,23...

donc 1+V5>3 ; en rajoutant 1 à chaque membre

donc 1/(1+V5)<1/3  ; en prenant l'inverse des membres on inverse le sens de l'inégalité

donc

2/(1+V5) < 2/3  ; en multipliant par 2 les membres de l'inégalité précédente

donc

(2/3)(2/(1+V5) < (2/3)(2/3)=4/9

donc
2/3F=(2/3)(2/(1+V5)<4/9

donc
|U(n+1)-F|<=(4/9).|F-Un|

merci vraiment beaucoup j'ai compris ce qui m'a échappé. En fait je n'avais pas fait (2/3)(2/(1+V5)) mais (2/3)((1+2V5)/2). Encore une fois merci beaucoup