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suites et majorants
bonjour à tous les forumeurs. J'ai quelques soucis concernant cet exercice :
on considère les suites vn = inf An et wn = sup An avec An = ensemble des up pour p>n (un est 1 suite quelconque)
En utilisant les 2 encadrements suivants : (sup A - 1/2(n+1) < a <= sup A) et (inf A <= b <infA + 1/2(n+1))avec A partie non vide et bornée de 
, montrer que l'on peut trouver 2 indices i 
n et j n tels que 0 
wn-vnui - uj +1/(n+1) et en déduire 0 wn - vn [valeur absolue (u1-u0) k^n]/1-k + 1/(n+1). Merci par avance
Et zut, un tab involontaire :
Cela (plus le fait que ) donne la première inégalité.
Pour la suite je ne vois pas bien à quoi peut correspondre k.
merci pour la 1ere partie. POur la seconde, ça ressemble à 1 formule sur les sommes de suites. J'ai oublié de préciser que l'on s'intéressait aux suites u_n+1=f(un) avec valeur absolue (f(x) - f(y)) k * valeurabsolue (x-y). J'ai aussi démontré un peu avant dans l'exo (désolé de l'oubli) que valeurabs (un+1-un) k^n valeur absolue (u1-u0)
Bonjour,
Une piste possible (si k<1):
Ecrire . Pareil pour
.
En considérant les cas i<j et i>j pour trouver les bornes de l'indice de la somme, écrire u_i-u_j comme une somme partielle de u_{l+1) - u_l.
En utilisant ensuite l'inégalité triangulaire puis le fait que la somme partielle d'une suite est inférieure à la somme de la série, je pense qu'on tombe sur le résultat souhaité.
Si je me souviens bien, on a :
.
Les s'annulent ; ensuite on peut regrouper les deux sommes et c'est là qu'on a deux cas :
Si i<j tous les termes de la première somme sont dans la seconde et on a
Si i> j tous les termes de la seconde somme sont dans la première et on a
là d'accord, je comprends mieux. Mais comment peux-tu parvenir à l'écriture d'1 seule somme partielle sachant que là tu as 2 écritures de ui - uj ?
En fait je ne parviens pas à une seule somme partielle, mais j'ai une somme partielle dans chacun des deux cas.
Ensuite on passe effectivement aux valeurs absolues après avoir remplacer par la somme partielle correspondante (il y a toujours deux cas) dans
tu as bien 0wn-vn
u_l+1-ul valeur abs (ul+1 - ul). mais comment trouver le résultat sachant que la somme partielle ce n'est pas vraiment cela (1-q^n/(1-q)
Il manque .
Ensuite peut être majoré par
. Ensuite on factorise par
.
Donc la seule chose qu'il nous reste à traiter c'est une somme (cas i<j).
En fait je suppose déjà que i>n (sinon mes sommes n'ont plus de sens). Il mieux traiter les cas ,
et
à part.
Donc .
Donc (puisqu'on a plus de termes (on a rajoutés ceux de n à i-2) et que ceux-ci sont positifs).
Or (changement d'indice).
Donc (on a récupéré le
qu'on voulait).
Il nous faut donc majorer . On a :
. Le deuxième membre de la somme est positif ;
, qu'on sait calculer.
Je sais que ce n'est pas très lisible mais j'espère que tu vois l'idée 
Petite correction de mon message de 12h38 :
la somme partielle d'une série dont les termes sont positifs est inférieure à la somme de la série
Je ne voudrais pas t'induire en erreur
ta dernioère somme, celle des k^m vaut 1/(1-k) je suis d'eaccord. La partie droite de l'encadrement que j'ai à montrer vaut S* (valeur abs u1-u0) +1/(n+1). Ainsi, avec tes majorations, j'ai la bonne réponse. Si j'ai dit une connerie dis le moi mais je crois avoir bien compris merci beaucoup
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