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Suites récurrentes linéaire (algèbre)
Salut a tous, j'aimerais votre aide la 1er question de ce problème algèbre. (étape par étape ^^)
L'application définie par :
:
² 
(
,
) 
(un)n
(un)n = f(,) est définie, pour (S,P) ² :
u0 = ,
u1 = ,
n, un+2 = S*un+1 - P*un
1) Montrer que
(²,).
Voila ce que j'ai fais :
(,) ², (',') ² et 
, on a :
[
(,) + (',') ] = [ (
* + '),(* + ') ] , pour n = 0 :
= S*(* + ') - P*(* + ')
= *( S* - P* ) + ( S*
' - P*' )
= *(
,) + (
',')
Donc
(²,) pour n = 0
Mais je me demande si il faut faire pour n
Pourriez-vous m'aider?
Merci
Tuarai
en clair :
toutes les suites ci-dessous verifient la relation de récurrence u(n+2)=S*u(n+1)-P*u(n)
si (u) est la suite initialisée par et
et (u') est la suite initialisée par ' et '
et (w) la suite initialisée par +' et +'
alors pour tout n
0, on a w(n)= u(n) + u'(n)
1)
Ok je me disais qu'il me manquait quelque chose ^^
2) Déterminer Ker(f). En déduire que f est injective.
Ker(f) = {(,)² \ f(,) = 0}
<=> S*un+1 - P*un = 0
<=> Ker(f) = 0
Et donc f est injective
tout cela est assez mal écrit...
f(
,) = 0l'image par f est une suite
donc ce "0" représente la suite nulle...
et ker(f) est un ensemble de couple
je crois que le problème n'est pas très clair pour toi
bon, je vais remplacer les alphas / bétas par "a" et "b" (ras le bol d'aller chercher les caractères spéciaux !)
f(a,b) doit être la suite nulle... c'est à dire la suite (u) telle que u(n)=0 Pour tout n0
les quantifications ne sont pas otpionnelles en math et sont souvent la clé du problème
On a :
un+2 - S*un+1 + P*un = 0
En introduisant l'équation caractéristique tel qu'on obtient :
X² - S.X + P = 0 avec 
= S² - 4P son discriminant.
c'est incroyable cette faculté de se compliquer la vie !
tu cherche a et b pour que la suite image par f soit nulle ! réfléchis, c'est évident !
C'est ce j'ai vraiment du mal, c'est tellement simple qu'on y pense pas souvent.
L'injectivité je sais comment faire.
3) On considère g : ² Im(f) telle que (a,b) ², g(a,b) = f(a,b).
Montrer que g est bien une application.
Que peut-on dire de g?
(a,b) ² et
g((a,b)) = f((a,b)) = S**b - P**a = (S*b - P*a) = *f(a,b) = g(a,b)
Donc g est une application.
On a montré précédemment que f est injective, et donc g est injective aussi.
Si on montre que g est surjective, on aura g bijective et donc g est un isomorphe.
Mais pour montrer la surjectivité je n'arrive pas/
ben oui, l'injectivité est triviale !!! il n'y a plus rien à faire : une application linéaire dont le noyau est réduit au vecteur nul est injective... théorème de cours !
je crois qu'il faudra que tu revois la définition d'"application" car je ne comprends pas ce que tu fais pour montrer que g est une application !
g(
(a,b)) = f((a,b)) = S**b - P**a cela n'a strictement aucun sens !!!!! l'image de (a,b) par f (ou g) est une suite... pas un nombre réel !
essaye de relire et de comprendre l'énoncé .
, je viens de comprendre ^^
non, visiblement tu n'a toujours pas compris, ni l'énoncé, ni la définition de g, ni la question ! désolé !
l'image d'un couple par f (ou g) n'est pas un nombre réel !!!!
et je ne vois absolument pas le rapport entre le calcul de g((a;b)) et le fait qu'on veut démontrer que c'est une application !
tu connais la définition de "g application de E dans F" ?
à tout élément x de E ... (si tu dis "antécédent", c'est antécédent de quelqu'un... donc tu supposes le résultat !)
et une unique image dans F
bon, alors montre que g est une application de R² dans im(f)
RN
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