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Surface horizontale, pente et surface réelle

Posté par
GaetanB
11-08-09 à 16:03

Bonjour,

Un problème bien concret se pose à mon équipe dans le cadre de notre job.

Nous devons corriger -le plus précisément possible- des surfaces mesurées en plan sur fonds cartographique. Ces surfaces sont en forte pente et donc la surface réelle de terrain est sensiblement supérieure à la surface mesurée en plan (la surface projettée).

Nous recherchons donc une formule permettant de calculer cette surface réelle à partir de la surface projettée et de la pente moyenne du terrain.

Exemples: une surface projettée de 15 ares ; une pente moyenne de 40°...
Quelle formule pour s'approcher le plus précisément de la surface réelle?

D'avance merci pour votre aide.

Gaëtan
(qui a oublié tout de ses cours de maths)

Posté par
hedgefunder
re : Surface horizontale, pente et surface réelle 11-08-09 à 16:25

salut

cette surface est elle d'une forme basique (rectangle,triangle,cercle....)?

Posté par
GaetanB
re : Surface horizontale, pente et surface réelle 11-08-09 à 16:34

Il s'agit d'enclos de pâturage et de zones de déboisement dont la forme ne correspond pas à des formes géométriques 'standard'.

Merci.

Posté par
dpi
pentes et surfaces 11-08-09 à 17:22

J'ai exactement ce problème chez moi longueur du terrain réelle 149 m courbe de niveau en bas 225 m courbe de niveau en haut 242 m:
Donc si on mesure une photo aérienne on trouvera moins en effet pente si on bâti un triangle rectangle de la coupe on a bas = 0=242-242 haut =petit coté 242-223 =19 et hypoténuse mesurée 149 m donc  avec pythagore--> longueur du plan =147.8 m  soit 1.2 m d'écart pour une pente de 13% environ
il faudrait prendre le cosinus de l'angle correspondant à la pente donc faire un tableau x % pente = y degrés =z radian
Pour mémoire les pentes inférieures à 5% donnent de très petits écarts mais une pente de 45 %(montagne) diminuerait la longueur de \sqrt{2}/2

Posté par
Albertus
re : Surface horizontale, pente et surface réelle 11-08-09 à 17:50

Bonjour,
J'ai fait pas mal de temps le métier d'arpenteur et je pense pouvoir vous aider.
Pour calculer une surface quelconque en plan, il faut la diviser en surfaces connues.
Le plus simple est de décomposer l'ensemble en triangle. On mesure les longueur des segments ainsi tracés et on calcul la surface de chaque triangle.
Pour calculer une surface gauche, calculer la longueur de chaque segment en considérant cette fois ci une figure géométrique positionnée verticalement. Puis calculer la surface de chaque surface projetée. Par exemple pour une pente à 40°, la longueur du segment suivant la pente (donc l'hypothénuse du triangle) est égale à longueur du segment horizontal divisé par cos 40°.
Pour un résultat global le plus proche de la réalité possible, calculer l'aire de chaque figure géométrique par deux méthodes différentes. Par exemple dans un triangle il y a 3 bases et 3 hauteurs. Donc 3 possibilités de calculer sa surface. La bonne surface du terrain sera la moyenne des aires globales calculées.
J'espère ne pas être trop confus dans mes explications. Bon courage et un conseil tracez et identifiez chaque segments sur votre fond de plan.

Posté par
Albertus
re : Surface horizontale, pente et surface réelle 11-08-09 à 17:58

J' ai oublié de préciser que la surface rélle d'un terrain n'a aucun intérêts. Les impôts sont basés sur une surface mesurée horizontalement et l'orsque vous achetez un terrain vous achetez une surface mesurée également horizontalement. Maintenant s'il sagit de cloturer par exemple, mieux vaut mesurer directement sur place. Mais je m'éloigne peut être du sujet.

Posté par
dpi
longueur et surface 12-08-09 à 15:42

Bien entendu en relisant ma réponse et celle d'albertus ,il faut pour être précis revenir à la surface .
Donc  appliquer la même méthode pour l'autre dimension ;on arriverait à la formule suivante : appelons L la longueur sur un plan et l largeur,a l'angle moyen trouvé en radians dans le sens de la longueur et b celui de la largeur enfin  LR et lr les "vraies " dimensions :

SURFACE REELLE = LR x lr =L/COSa x l/cos b
pour des triangles ou autres formes irrégulières pratiquer par décomposition géométriques

Posté par
Albertus
re : Surface horizontale, pente et surface réelle 12-08-09 à 17:12

Bonjour GaetanB, Bonjour dpi,
Un schéma vaut mieux qu'un long discours.
Soit la surface gauche A B C D E
Sa projection orthogonale A' B' C' D' E'
On décompose cette surface en figures géométriques simples.
Soit 3 triangles: A' B' C'; A'C' E' et C' D' E'
Considérons le triangle A'C'E' et sa hauteur A'H'
Les valeurs de C' E' et de A' H' sont mesurées sur plan.
La précision de lecture et de l'ordre du cm sur un plan au 1/200 et du décimètre sur un plan au 1/2000.
Cherchons la longueur du segment CE
h=EE' - CC'
CE² = h² + C'E'²
Cherchons la longueur du segment AH
h=AA' - HH'
AH² = h² + A'H'²
La surface du triangle ACE devient: CE x AH / 2

Surface horizontale, pente et surface réelle

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