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Niveau école ingénieur
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surjectif et injectif

Posté par
jounaid95
16-10-13 à 12:16

bonjour je ne sais pas quelle est la méthode pour montrer le caractère injectif et le caractère surjectif de la fonction (x,y)(x-y,x+y) , ²²
merci d'avance pour votre réponse

Posté par
WunderBarbu
re : surjectif et injectif 16-10-13 à 12:56

Bonjour,

Pour l'injectivité prend X=(x,y), X'=(x',y') dans R² et montre que si f(X)=f(X') alors X=X'

Pour la surjectivité, prend un Y de R² et montre qu'il existe un X de R² tel que Y=f(X)

Posté par
jounaid95
re : surjectif et injectif 16-10-13 à 13:21

il faut donc montrer que (x-y,x+y)=(x'-y',x'+y') mais c'est bizarre car si f(x,y)=f(x',y') on aura forcément x,y=x',y' pour ce cas là.

Posté par
WunderBarbu
re : surjectif et injectif 16-10-13 à 13:28

il faut montrer que si (x-y,x+y)=(x'-y',x'+y') alors (x,y)=(x',y')

si tu as cela alors la fonction est injective

Posté par
jounaid95
re : surjectif et injectif 16-10-13 à 13:39

j'ai donc posé x'=m et y'=p
malheureusement je rencontre des difficultés pour résoudre (x-y,x+y)=(m-p,m+p)

Posté par
WunderBarbu
re : surjectif et injectif 16-10-13 à 13:41

tu n'as pas besoin de faire ça

si x-y=x'-y'et x+y=x'+y'
en ajoutant les deux on trouve 2x = 2x' donc x=x' et donc y=y'
donc (x,y)=(x',y') donc on a l'injectivité

Posté par
jounaid95
re : surjectif et injectif 16-10-13 à 14:06

merci pour cette explication à présent je rencontre des difficultés pour montrer le caractère surjectif de cette même fonction. je voudrais savoir quelle raisonnement est nécessaire pour aboutir cette conclusion sachant qu'on ne peut pas faire la dérivé et le tableau de variation car l'ensemble d'étude est un produit cartésien.
merci d'avance pour votre réponse

Posté par
WunderBarbu
re : surjectif et injectif 16-10-13 à 14:07

pour (a,b) dans R²

il te faut résoudre le système d'inconnues x,y suivant :

x-y=a et x+y=b

Posté par
jounaid95
re : surjectif et injectif 16-10-13 à 14:22

j'ai trouvé x=(a+b)/2 et y=(b-a)/2 que faut-il faire ensuite pour montrer la sujectivité.

Posté par
jounaid95
re : surjectif et injectif 16-10-13 à 14:24

*surjectivité

Posté par
WunderBarbu
re : surjectif et injectif 16-10-13 à 14:26

tu viens de le faire

pour chaque Y=(a,b) de R² tu as trouvé un X=(x,y) de R² tel que f(X)=Y
c'est la définition de la surjectivité

Posté par
lafol Moderateur
re : surjectif et injectif 16-10-13 à 14:26

Bonjour

le simple fait d'avoir trouvé une solution montre que c'est surjectif

en fait tu as même montré directement que c'est bijectif, puisque tu as montré qu'il y a une unique solution ....
f bijective, ça veut exactement dire que pour tout (a,b), il existe un unique (x,y) tel que f(x,y) = (a,b)

tu l'as prouvé, tu as même explicité l'unique (x,y) : c'est ((a+b)/2, (b-a)/2)

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