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Surjection, injection, et bijection

Posté par
xhe60
12-09-09 à 03:44

Bonjour

Je cherche (au moins) un cours qui permet de maitriser tout cela (surjection, injection, et bijection).
Quel cours est-ce que je dois étudier ?
Quel(s) titre(s) de cours ?

Je cherche ainsi des bouquins ou des pages web, si possible avec exercices corrigés.

Merci.

Posté par
xhe60
re : Surjection, injection, et bijection 12-09-09 à 04:01

Voici un exemple d'exercice que je voudrais arriver à maitriser;

Soient f, g, et h des applications de E dans lui même.
1- Montrer que f o g injective => g injective.
2- Montrer que f o g surjective => f surjective.
3- Montrer que si g o f et h o g sont bijectives, alors f, g, et f sont bijectives.

J'ai déjà trouvé pas mal de pages web, mais étant débutant dans ce domaine, j'ignore si il s'agit de cours adéquates à mes besoins.

Nice.

Posté par
raymond Correcteur
re : Surjection, injection, et bijection 12-09-09 à 10:28

Bonjour.

a) Pour montrer que f est injective, une bonne méthode consiste à résoudre l'équation : f(x) = f(y)

Si elle ne possède que la solution x = y, alors, f est injective.

b) Pour montrer que f est surjective, on résout l'équation f(x) = y.

Si cette équation possède pour tout y au moins une solution, alors, f est surjective.

Mais bien souvent, d'autres méthodes sont employées.

Exemple :

1°) fog injective g injective.

Je démontre la contraposée : g non injective fog non injective

g non injective il existe a et b tels que a b et g(a) = g(b)

Je compose par f : il existe a et b tels que a b et fog(a) = fog(b)

Cela signifie que fog est non injective.

Posté par
michel60
Surjection, injection, et bijection 12-09-09 à 11:09

Bonjour,

Il existe un "vieux" livre sur ces sujets ( math "moderne") qui a le bon goût d'être en plus assez drôle, si vous pouvez le consulter vous pourrez voir si cela vous convient?
Le livre en question est:
mathématiques pour papa  de serge Berman René Bezard éditions Chéron

Bon courage!

Posté par
xhe60
re : Surjection, injection, et bijection 13-09-09 à 03:28

Citation de raymond :"Pour montrer que f est injective, une bonne méthode consiste à résoudre l'équation : f(x) = f(y)"
Est-ce vraiment possible de résoudre cette équation, à partir des informations contenus dans l'énoncé ?

Citation de michel60 :"Il existe un "vieux" livre sur ces sujets ... si vous pouvez le consulter vous pourrez voir si cela vous convient?"
A partir du moment où ce livre contient toutes les informations nécessaires à la résolution de cet énoncé, alors ce livre m'intéresse.
La question, c'est donc; est-ce que ce livre contient ces informations ?

Posté par
critou
re : Surjection, injection, et bijection 13-09-09 à 08:30

Bonjour ,

Citation :
Est-ce vraiment possible de résoudre cette équation, à partir des informations contenus dans l'énoncé ?

Un exemple, montrons que la fonction racine carrée (de R+ vers R) est injective :
Soient x, y dans R+ tels que f(x)=f(y) (deux nombres "qui s'envoient sur la même image" donc). Ça veut dire : √x=√y . En passant les deux membres au carré, on obtient : x=y.

Les fonctions affines du type f(x)=ax+b, définies sur R, avec a≠0, sont également injectives :
si f(x)=f(y), c'est-à-dire ax+b=ay+b, on obtient ax=ay et x=y (en divisant par a qui est ≠0).
Si a=0 par contre, on a f(x)=b autrement dit notre fonction est constante, et ne risque donc pas d'être injective (b a plus d'un antécédent, en fait tous les réels x sont des antécédents de b par f !).

Posté par
xhe60
re : Surjection, injection, et bijection 14-09-09 à 22:07

Merci pour vos réponses. En demandant est-c'était vraiment possible de résoudre cette équation à partir des informations contenus dans l'énoncé, j'espérai comprendre le raisonnement...

J'ignore ce que c'est qu'un antécédent !
Est-ce que vraiment, personne ne peut me conseiller un cours sur le web, en me garantissant que ce cours permet de résoudre cet exercice ?

Posté par
xhe60
re : Surjection, injection, et bijection 14-09-09 à 22:09

Un ou plusieurs cours...
Considérons que j'ai le niveau terminale S.

Posté par
critou
re : Surjection, injection, et bijection 15-09-09 à 07:00

Si tu ignores ce que c'est qu'un antécédent, on peut y remédier très vite :

On dit qu'un élément a est un antécédent de b par une fonction f si f(a)=b ("a s'envoie sur b"). Si f est la fonction carré, -3 et 3 sont les antécédents de 9 ; si f est la fonction inverse, 5 est un antécédent de 1/5. Etc...
Note que b (l'élément dont on cherche les antécédents) vit dans l'espace d'arrivée de la fonction, alors que a (l'antécédent) vit dans l'espace de départ.

La notion d'antécédent est très pratique pour comprendre l'injectivité / surjectivité :
- une fonction est surjective si tout élément de l'espace d'arrivée a au moins un antécédent
- injective si tt élt de l'espace d'arrivée a au plus un antécédent
- bijective si tt élt de l'espace d'arrivée a exactement un antécédent.

Bon mais si je trouve un cours bien fichu sur le net je te le dis...

Posté par
critou
re : Surjection, injection, et bijection 15-09-09 à 07:04

En attendant tu peux lire le début de ça

Posté par
xhe60
re : Surjection, injection, et bijection 16-09-09 à 02:41

Ah! Merci. Ca fait bu bien !

Citrou, avec ton explication, j'ai vraiment l'impression de voir clair, d'avoir fait au moins la moitié du chemin.
Le cours aussi à l'air radical, ça sent bon...

Bref, j'ai maintenant du pain sur la planche, quoi. Je me lance dans le travaille.

A bientôt

Posté par
xhe60
re : Surjection, injection, et bijection 17-09-09 à 04:18

J'en suis à la définition d'une injection, et certaines notations qui sont utilisés dans le cours me sont étrangères.

f est injective si (x,x') A2 : (xx') (f(x)f(x'))

Je voudrais comprendre la signification de certaines des notations;
- le couple (x,x'), qu'est-ce que ça signifie ?
- à quoi ressemble les éléments contenus dans A2 ?
- que veut dire A2 : (xx') ?

Posté par
critou
re : Surjection, injection, et bijection 17-09-09 à 07:22

Bonjour

Si A et B sont deux ensembles, l'ensemble A x B ("A croix B") est appelé le produit cartésien de A et B. Il est constitué des couples (x;y) avec x dans A et y dans B.
On note A2 pour "A x A".
Par exemple R2 c'est R x R, l'ensemble des (x;y) où x et y sont deux réels.
Dans l'idée de couple il y a l'idée d'ordre : tu vois bien que le point (x;y), ce n'est pas la même chose que le point (y;x) par exemple - le point (2;1) n'est pas (1;2), ...

Autre ex que tu peux comprendre, si je te dis de résoudre un système d'équations à deux inconnues x et y, ça veut dire exactement : "trouver tous les couples (x;y) qui sont solutions". Là aussi, l'ordre importe : le couple (x;y)=(2;1) (x=2, y=1) peut être solution sans que le couple (1;2) (x=1,y=2) le soit.

Dans ton ex, les deux points sont remplaçables par une virgule. Le A^2 et le x≠x ne font pas partie "du même morceau de phrase".

Posté par
critou
re : Surjection, injection, et bijection 17-09-09 à 16:01

Je reviens, ce matin j'avais juste 5 minutes
L'injectivité,  en français, ça donne :

f est injective si : pour tous éléments x et x' de A, si x et x' sont différents alors leurs images sont différentes.
Le "pour tout (x,x')A2" c'est une notation "plus rapide" que "pour tout xA, pour tout x'A". Ici il n'y a pas d'histoire d'ordre, x et x' jouent le même rôle.

Posté par
xhe60
re : Surjection, injection, et bijection 19-09-09 à 02:38

Je te remercie encore. C'est très clair.

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