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Niveau Licence Maths 1e ann
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Symétrie par rapport à une droite

Posté par
Tomy01
29-09-16 à 20:42

Bonsoir !
Tout est un petit peu dans le titre en fait ! Je voulais savoir comment obtenir les coordonnées du symétrique d'un point par rapport à une droite d'équation y=ax+b. Et si possible, si il y avait plusieurs méthodes je suis preneur !
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
carpediem
re : Symétrie par rapport à une droite 29-09-16 à 20:54

salut

on fait un schéma avec une droite d, un point M et son symétrique N ... on regarde, on réfléchit et on voit ...

puis on formalise le tout pour obtenir une belle formule ...

Posté par
Tomy01
re : Symétrie par rapport à une droite 29-09-16 à 21:02

Merci, mais en fait c'est pour formaliser que je ne vois pas comment débuter .

Posté par
carpediem
re : Symétrie par rapport à une droite 29-09-16 à 21:06

soit d la droite d'équation y = ax + b

alors A(0, b) appartient à d

si M(u, v) et N(w, t) sont symétriques par rapport à d alors le vecteur \vec {AM} + \vec {AN} est un vecteur directeur de d

de plus AM = AN

ce qui donne déjà pas mal d'info ....

Posté par
Tomy01
re : Symétrie par rapport à une droite 29-09-16 à 21:12

Merci ! Je regarde ça tout de suite !

Posté par
lake
re : Symétrie par rapport à une droite 29-09-16 à 22:35

Bonsoir,

Les complexes donnent aussi de bons résultats.

L' écriture complexe de la réflexion d' axe (d):\,y=ax+b:

z'=\dfrac{1+ia}{1-ia}\,\bar{z}+\dfrac{2ib}{1-ia} (à prouver)

Puis en repassant aux coordonnées cartésiennes:

\begin{cases}x'=\dfrac{(1-a^2)x+2ay-2ab}{1+a^2}\\y'=\dfrac{2ax-(1-a^2)y+2b}{1+a^2}\end{cases}

Posté par
DOMOREA
re : Symétrie par rapport à une droite 30-09-16 à 18:45

Bonjour,
Sans passer par les complexes
M' (x',y')symétrique orthogonal  de M(x,y) par rapport à D d'équation  y=ax+b  et donc de vecteur directeur   \vec{u}=(1,a)  \Longleftrightarrow  Le milieu de [MM']appartient à la droite ( donc satisfait l'équation de la droite)et  le produit scalaire \vec{MM'}. \vec{u}=0
cela te donne un système de Cramer de 2 équations à 2 inconnues x',y'.

Posté par
Tomy01
re : Symétrie par rapport à une droite 02-10-16 à 16:17

Merci à tout le monde ! Par contre carpediem je ne vois pas comment avancer une fois les normes obtenues ainsi que les coordonnées du vecteur directeur.
Merci d'avance pour votre coup de pouce !

Posté par
carpediem
re : Symétrie par rapport à une droite 02-10-16 à 18:41

DOMOREA a proposé quasiment la même chose  ... mais en plus mieux bien ...

Posté par
Tomy01
re : Symétrie par rapport à une droite 03-10-16 à 16:45

Merci à tout le monde ! Je suis passé par l'équation de la droite passant par M et M' en fait, puis j'ai calculé les coordonnées du point de symétrie S et enfin j'ai ajouté un vecteur MS à ce point de symétrie. Je ne sais pas si c'est plus simple, mais moi je m'embrouille moins, ou, raison plus probable, je ne suis pas encore assez à l'aise !
Merci en tout cas, je reviendrais sur ce topic pour refaire toutes les méthodes !

Posté par
carpediem
re : Symétrie par rapport à une droite 03-10-16 à 19:49

de rien et au plaisir



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